Contenido

• Pasos
• Parte 1 de 3: Factorizar binomios
• Parte 2 de 3: Factorizar binomios para resolver ecuaciones
• Parte 3 de 3: Resolución de problemas complejos
• Consejos
• Advertencias

Un binomio (binomio) es una expresión matemática con dos términos entre los cuales hay un signo más o menos, por ejemplo, ${ Displaystyle ax + b}$... El primer miembro incluye la variable y el segundo la incluye o no. Factorizar un binomio implica encontrar términos que, cuando se multiplican, producen el binomio original para resolverlo o simplificarlo.

Pasos

Parte 1 de 3: Factorizar binomios

1. 1 Comprender los conceptos básicos del proceso de factorización. Al factorizar un binomio, el factor que es un divisor de cada término del binomio original se saca del paréntesis. Por ejemplo, el número 6 es completamente divisible por 1, 2, 3, 6. Por lo tanto, los divisores del número 6 son los números 1, 2, 3, 6.
   • Divisores 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Los divisores de cualquier número son 1 y el número en sí. Por ejemplo, los divisores de 3 son 1 y 3.
   • Los divisores enteros solo pueden ser números enteros. El número 32 se puede dividir por 3,564 o 21,4952, pero no se obtiene un número entero, sino una fracción decimal.
2. 2 Ordena los términos del binomio para facilitar el proceso de factorización. Un binomio es la suma o diferencia de dos términos, al menos uno de los cuales contiene una variable. A veces, las variables se elevan a una potencia, por ejemplo, ${ Displaystyle x ^ {2}}$ o ${ Displaystyle 5y ^ {4}}$... Es mejor ordenar los términos del binomio en orden ascendente de exponentes, es decir, el término con el exponente más pequeño se escribe primero y con el más grande, el último. Por ejemplo:
   • ${ Displaystyle 3t + 6}$ → ${ Displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ Displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ Displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ Displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Observe el signo menos delante de 2. Si se resta un término, escriba un signo menos delante de él.
3. 3 Encuentra el máximo común divisor (MCD) de ambos términos. GCD es el número más grande por el cual ambos miembros del binomio son divisibles. Para hacer esto, encuentre los divisores de cada término en el binomio y luego seleccione el máximo común divisor. Por ejemplo:
   • Una tarea:${ Displaystyle 3t + 6}$.
     • Divisores 3: 1, 3
     • Divisores 6: 1, 2, 3, 6.
     • MCD = 3.
4. 4 Dividir cada término del binomio por el máximo común divisor (MCD). Haga esto para factorizar el GCD. Tenga en cuenta que cada miembro del binomio disminuye (porque es divisible), pero si el MCD se excluye del paréntesis, la expresión final será igual a la original.
   • Una tarea:${ Displaystyle 3t + 6}$.
   • Encuentra el GCD: 3
   • Dividir cada término binomial por mcd:${ Displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Saca el divisor del paréntesis. Anteriormente, dividió ambos términos del binomio por el divisor 3 y obtuvo ${ Displaystyle t + 2}$... Pero no puede deshacerse de 3: para que los valores de las expresiones inicial y final sean iguales, debe colocar 3 fuera del paréntesis y escribir la expresión obtenida como resultado de la división entre paréntesis. Por ejemplo:
   • Una tarea:${ Displaystyle 3t + 6}$.
   • Encuentra el GCD: 3
   • Dividir cada término binomial por mcd:${ Displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Multiplica el divisor por la expresión resultante:${ Displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Respuesta: ${ Displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Comprueba tu respuesta. Para hacer esto, multiplique el término antes de los corchetes por cada término dentro de los corchetes. Si obtiene el binomio original, la solución es correcta. Ahora resuelve el problema ${ Displaystyle 12t + 18}$:
   • Ordene los miembros:${ Displaystyle 18 + 12t}$
   • Encuentra el GCD:${ Displaystyle 6}$
   • Dividir cada término binomial por mcd:${ Displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Multiplica el divisor por la expresión resultante:${ Displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Comprueba la respuesta:${ Displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Parte 2 de 3: Factorizar binomios para resolver ecuaciones

1. 1 Factoriza el binomio para simplificarlo y resolver la ecuación. A primera vista, parece imposible resolver algunas ecuaciones (especialmente con binomios complejos). Por ejemplo, resuelve la ecuación ${ Displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$... Hay potencias en esta ecuación, así que factoriza la expresión primero.
   • Una tarea:${ Displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Recuerde que un binomio tiene dos miembros. Si la expresión incluye más términos, aprenda a resolver polinomios.
2. 2 Suma o resta algo de monomio a ambos lados de la ecuación para que el cero permanezca en un lado de la ecuación. En el caso de la factorización, la solución de las ecuaciones se basa en el hecho inmutable de que cualquier expresión multiplicada por cero es igual a cero. Por lo tanto, si igualamos la ecuación a cero, entonces cualquiera de sus factores debe ser igual a cero. Establece un lado de la ecuación en 0.
   • Una tarea:${ Displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Poner a cero:${ Displaystyle 5y-2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Factoriza el contenedor resultante. Haga esto como se describe en la sección anterior. Encuentra el máximo factor común (MCD), divide ambos términos del binomio por él y luego saca el factor del paréntesis.
   • Una tarea:${ Displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Poner a cero:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Factor:${ Displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Establezca cada factor en cero. En la expresión resultante, 2y se multiplica por 4 - y, y este producto es igual a cero. Dado que cualquier expresión (o término) multiplicado por cero es cero, entonces 2y o 4 - y es 0. Establezca el monomio y el binomio resultantes en cero para encontrar "y".
   • Una tarea:${ Displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Poner a cero:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Factor:${ Displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Establezca ambos factores en 0:
     • ${ Displaystyle 2y = 0}$
     • ${ Displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Resuelva las ecuaciones resultantes para encontrar la respuesta final (o respuestas). Dado que cada factor es igual a cero, la ecuación puede tener múltiples soluciones. En nuestro ejemplo:
   • ${ Displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ Displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ Displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Comprueba tu respuesta. Para hacer esto, sustituya los valores encontrados en la ecuación original. Si la igualdad es verdadera, entonces la decisión es correcta. Sustituye los valores encontrados en lugar de "y". En nuestro ejemplo, y = 0 e y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ Displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ Displaystyle 0 = 0}$Esta es la decisión correcta
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ Displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ Displaystyle -12 = -12}$Y esta es la decisión correcta

Parte 3 de 3: Resolución de problemas complejos

1. 1 Recuerde que un término con una variable también se puede factorizar, incluso si la variable se eleva a una potencia. Al factorizar, necesita encontrar un monomio que divida integralmente a cada miembro del binomio. Por ejemplo, el monomio ${ Displaystyle x ^ {4}}$ se puede factorizar ${ Displaystyle x * x * x * x}$... Es decir, si el segundo término del binomio también contiene la variable "x", entonces "x" puede sacarse de los corchetes. Por lo tanto, trate las variables como números enteros. Por ejemplo:
   • Ambos miembros del binomio ${ Displaystyle 2t + t ^ {2}}$ contienen "t", por lo que "t" se puede quitar del paréntesis: ${ Displaystyle t (2 + t)}$
   • Además, una variable elevada a una potencia se puede sacar del soporte. Por ejemplo, ambos miembros del binomio ${ Displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ Contiene ${ Displaystyle x ^ {2}}$, asi que ${ Displaystyle x ^ {2}}$ se puede sacar del soporte: ${ Displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Suma o resta términos similares para obtener un binomio. Por ejemplo, dada la expresión ${ Displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... A primera vista, este es un polinomio, pero de hecho, esta expresión se puede convertir en un binomio. Agregue términos similares: 6 y 14 (no contienen una variable) y 2x y 3x (contienen la misma variable "x"). En este caso, el proceso de factorización se simplificará:
   • Expresión original:${ Displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Ordene los miembros:${ Displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Agregue términos similares:${ Displaystyle 5x + 20}$
   • Encuentra el GCD:${ Displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Factor:${ Displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Factoriza la diferencia de cuadrados perfectos. Un cuadrado perfecto es un número cuya raíz cuadrada es un número entero, por ejemplo ${ Displaystyle 9}$${ Displaystyle (3 * 3)}$, ${ Displaystyle x ^ {2}}$${ Displaystyle (x * x)}$ e incluso ${ Displaystyle 144t ^ {2}}$${ Displaystyle (12t * 12t)}$... Si el binomio es la diferencia de cuadrados perfectos, por ejemplo, ${ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, luego se factoriza mediante la fórmula:
   • Fórmula de diferencia de cuadrados:${ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a-b)}$
   • Una tarea:${ Displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Extrae las raíces cuadradas:
     • ${ Displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ Displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Sustituye los valores encontrados en la fórmula: ${ Displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x-3)}$
4. 4 Factoriza la diferencia entre los cubos completos. Si el binomio es la diferencia de cubos completos, por ejemplo, ${ Displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, luego se factoriza usando una fórmula especial. En este caso, es necesario extraer la raíz cúbica de cada miembro del binomio y sustituir los valores encontrados en la fórmula.
   • La fórmula para la diferencia entre cubos:${ Displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a-b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Una tarea:${ Displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Extraer raíces cúbicas:
     • ${ Displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ Displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Sustituye los valores encontrados en la fórmula: ${ Displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x-3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Factoriza la suma de los cubos completos. A diferencia de la suma de cuadrados perfectos, la suma de cubos completos, por ejemplo, ${ Displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, se puede factorizar utilizando una fórmula especial. Es similar a la fórmula para la diferencia entre cubos, pero los signos están invertidos. La fórmula es bastante simple: para usarla, encuentre la suma de cubos completos en el problema.
   • La fórmula para la suma de cubos:${ Displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Una tarea:${ Displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Extraer raíces cúbicas:
     • ${ Displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ Displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Sustituye los valores encontrados en la fórmula: ${ Displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Consejos

• A veces, los miembros de un binomio no tienen un divisor común. En algunas tareas, los miembros se presentan de forma simplificada.
• Si no puede encontrar GCD de inmediato, comience dividiendo por números pequeños. Por ejemplo, si no ve que el MCD de los números 32 y 16 es 16, divida ambos números entre 2. Obtiene 16 y 8; estos números se pueden dividir entre 8. Ahora obtienes 2 y 1; estos números no se pueden reducir. Por lo tanto, es obvio que hay un número mayor (en comparación con 8 y 2), que es el divisor común de los dos números dados.
• Tenga en cuenta que los términos de sexto orden (con un exponente de 6, por ejemplo x) son tanto cuadrados perfectos como cubos perfectos. Así, a binomios con términos de sexto orden, por ejemplo, x - 64, se pueden aplicar (en cualquier orden) las fórmulas para la diferencia de cuadrados y la diferencia de cubos. Pero es mejor aplicar primero la fórmula de la diferencia de cuadrados para descomponer más correctamente con un binomio.

Advertencias

• Un binomio, que es la suma de cuadrados perfectos, no se puede factorizar.