Contenido

• Al paso
• Parte 1 de 3: Comprende que "compartir" es imposible
• Parte 2 de 3: Invertir la matriz
• Parte 3 de 3: multiplica las matrices para completar el problema
• Consejos
• Advertencias

Si sabe cómo multiplicar dos matrices, entonces está bien encaminado para poder "dividir" una matriz por otra matriz. Compartir está entre comillas porque las matrices no se pueden compartir técnicamente. En cambio, multiplicamos la matriz por la inverso de otra matriz. Estos cálculos se utilizan a menudo para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Al paso

Parte 1 de 3: Comprende que "compartir" es imposible

1. Comprende qué es "dividir" una matriz. Técnicamente, no existe la división matricial. Compartir matrices no es una función definida. Lo más parecido es multiplicar por la inversa de otra matriz. En otras palabras, aunque [A] ÷ [B] no está definido, puede resolver el problema [A] * [B]. Dado que estas dos ecuaciones son equivalentes a escalares, esto "se siente" como una división de matriz, pero es importante utilizar la terminología correcta.
   • Tenga en cuenta que [A] * [B] y [B] * [A] no son el mismo problema. Puede que tenga que resolver ambos para encontrar todas las respuestas posibles.
   • Por ejemplo, en lugar de ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 y 26 39 y 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 y 4 2 y 3 end {pmatrix}}}$Compruebe que la "matriz de divisores" sea cuadrada. Para poder determinar la inversa de una matriz, debe ser una matriz cuadrada, es decir, con el mismo número de filas y columnas. Si la matriz que desea invertir no es una matriz cuadrada, entonces no existe una solución única al problema.
     • El término "matriz de divisores" es algo impreciso, porque en realidad no es un subproblema. Para [A] * [B], esto se refiere a la matriz [B]. En nuestro ejemplo esto es ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 y 4 2 y 3 end {pmatrix}}}$Compruebe si las dos matrices se pueden multiplicar juntas. Para poder multiplicar dos matrices, el número de columnas en la primera matriz debe ser igual al número de filas en la segunda matriz. Si esto no funciona en ambos casos ([A] * [B] o [B] * [A]), no hay solución al problema.
       • Por ejemplo, si [A] es una matriz de 4 x 3 (4 filas, 3 columnas) y [B] una matriz de 2 x 2 (2 filas, 2 columnas), entonces no hay solución. [A] * [B] no funciona porque 3 ≠ 2, y [B] * [A] no funciona porque 2 ≠ 4.
       • Sepa que la inversa [B] siempre tiene el mismo número de filas y columnas que la matriz original [B]. No es necesario calcular la inversa para completar este paso.
       • En nuestro problema de ejemplo, ambas matrices son 2x2, por lo que pueden multiplicarse en cualquier orden.
     • Encuentre el determinante de una matriz de 2 x 2. Hay otra verificación necesaria antes de poder determinar la inversa de una matriz. El determinante de la matriz no puede ser cero. Si el determinante es cero, la matriz no tiene inversa. Así es como se determina el determinante en el caso más simple (la matriz 2 x 2):
       • Matriz 2 x 2: el determinante de la matriz ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$Encuentre el determinante de una matriz más grande. Si su matriz es 3 x 3 o más grande, entonces se necesita un poco más de trabajo para determinar el determinante:
         • Matriz 3 x 3: Elija un elemento y cruce la fila y la columna a la que pertenece. Encuentre el determinante de la matriz 2 x 2 restante, multiplique por el elemento elegido y mantenga una tabla de caracteres de la matriz para determinar el carácter. Repita para los otros dos elementos en la misma fila y columna que el primero que eligió, luego agregue los tres determinantes. Lea este artículo para obtener instrucciones paso a paso y consejos sobre cómo hacerlo más rápido.
         • Matrices más grandes: Se recomienda el uso de una calculadora gráfica o software. El método es el mismo que para una matriz de 3 x 3, pero lleva mucho tiempo si lo hace a mano. Por ejemplo, para encontrar el determinante de una matriz de 4 x 4, primero debe encontrar los determinantes de cuatro matrices de 3 x 3.
       • Continuar. Si su matriz no es un cuadrado, o su determinante es cero, escríbalo como "no es una solución única". El problema está terminado. Si la matriz es un cuadrado y su determinante no es cero, continúe con la siguiente parte para el siguiente paso: determinar la inversa.

Parte 2 de 3: Invertir la matriz

1. Intercambia las posiciones de los elementos de la diagonal principal de 2 x 2. Si se trata de una matriz de 2 x 2, puede utilizar un atajo para facilitar mucho este cálculo. El primer paso de esta solución rápida es intercambiar el elemento superior izquierdo con el elemento inferior derecho. Por ejemplo:
   • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 y 4 2 y 3 end {pmatrix}}}$Tome el opuesto de los otros dos elementos pero déjelos en esa posición. En otras palabras, multiplica el de arriba juez y fondo izquierdaelementos con -1:
     • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 y 4 2 y 7 end {pmatrix}}}$Tome el recíproco del determinante. Encontraste el determinante de esta matriz en la sección anterior, por lo que no es necesario volver a calcularlo. Simplemente escriba el recíproco de 1 / (determinante):
       • En nuestro ejemplo, el determinante es 13. El recíproco de esto es ${ Displaystyle { frac {1} {13}}}$Multiplica la nueva matriz por el recíproco del determinante. Multiplique cada elemento de la nueva matriz por el recíproco que acaba de encontrar. La matriz resultante es la inversa de la matriz 2 × 2:
         • ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 y -4 - 2 y 7 end {pmatrix}}}$Confirma que la inversa sea correcta. Para verificar su trabajo, multiplique la inversa por la matriz original. Si la inversa es correcta, su producto es siempre la identidad de la matriz, ${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$Encuentre la inversión de la matriz de una matriz de 3 x 3 o más grande. A menos que sea nuevo en este proceso, puede ahorrar mucho tiempo utilizando una calculadora gráfica o un software matemático con matrices más grandes. Si tiene que calcularlo a mano, aquí hay un resumen rápido de un método que puede utilizar:
           • Agregue la matriz de identidad I al lado derecho de su matriz. Por ejemplo, [B] → [B | I]. La matriz de identidad tiene elementos "1" a lo largo de la diagonal principal y elementos "0" en todas las demás posiciones.
           • Realice ediciones de fila para reducir la matriz hasta que el lado izquierdo esté en forma escalonada de fila y continúe reduciendo hasta que el lado izquierdo sea la matriz de identidad.
           • Cuando se complete toda la operación, su matriz tendrá el formato [I | B]. En otras palabras, el lado derecho será el inverso de la matriz original.

Parte 3 de 3: multiplica las matrices para completar el problema

1. Escribe ambas ecuaciones posibles. En "matemáticas comunes" con escalares, la multiplicación es conmutativa; 2 x 6 = 6 x 2. Esto no se aplica a las matrices, por lo que es posible que deba resolver dos problemas:
   • [A] * [B] es la solución X por problema X[B] = [A].
   • [B] * [A] es la solución X para el problema [B]X = [A].
   • Si esto es parte de una ecuación, asegúrese de aplicar la misma operación a ambos lados de la ecuación. Si [A] = [C], entonces [B] es [A] no Igual que [C] [B], porque [B] está a la izquierda de [A], pero a la derecha de [C].
2. Determina las dimensiones de tu respuesta. Las dimensiones de la matriz final son las dimensiones externas de los dos factores. Tiene el mismo número de filas que la primera matriz y el mismo número de columnas que la segunda matriz.
   • Volviendo al ejemplo original: ambos ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 y 26 39 y 13 end {pmatrix}}}$Determina el valor del primer elemento. Consulte el artículo vinculado para obtener instrucciones detalladas o actualice sus conocimientos con este resumen:
     • Para encontrar la fila 1, columna 1 de [A] [B], encuentre el producto escalar de [A] fila 1 y [B] columna 1. Entonces, para una matriz de 2 x 2, calcula ${ Displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$Calcula el producto escalar para cada posición en tu matriz. Por ejemplo, el elemento en la posición 2,1 es el producto escalar de [A] fila 2 y [B] columna 1. Intente resolver el ejemplo usted mismo. Debería obtener las siguientes respuestas:
       • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 y 26 39 y 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} y { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 y 10 7 y -5 end {pmatrix}}}$
       • Y la otra solución: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} y { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} y { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 end {pmatrix}}}$

Consejos

• Puede dividir una matriz por un escalar dividiendo cada elemento de la matriz por el escalar.
  • Por ejemplo, la matriz ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 y 8 2 y 4 end {pmatrix}}}$ dividido por 2 = ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 y 4 1 y 2 end {pmatrix}}}$

Advertencias

• Las calculadoras no siempre son 100% precisas en los cálculos matriciales. Por ejemplo, si su calculadora indica que un elemento tiene un valor muy pequeño (por ejemplo, 2E), es probable que el valor sea cero.