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• Pasos
• Consejos

La gráfica de una ecuación cuadrática de la forma ax + bx + co a (x - h) + k es una parábola (curva en forma de U). Para trazar una ecuación de este tipo, debes encontrar el vértice de la parábola, su dirección y los puntos de intersección con los ejes X e Y. Si te dan una ecuación cuadrática relativamente simple, entonces puedes sustituir diferentes valores de "x "en él, busque los valores correspondientes de" y "y cree un gráfico ...

Pasos

1. 1 La ecuación cuadrática se puede escribir en una forma estándar y en una forma no estándar. Puede utilizar cualquier tipo de ecuación para trazar una ecuación cuadrática (el método de trazado es ligeramente diferente). Como regla, en los problemas, las ecuaciones cuadráticas se dan en forma estándar, pero este artículo le informará sobre ambos tipos de escritura de una ecuación cuadrática.
   • Forma estándar: f (x) = ax + bx + c, donde a, b, c son números reales y a ≠ 0.
     • Por ejemplo, dos ecuaciones de la forma estándar: f (x) = x + 2x + 1 y f (x) = 9x + 10x -8.
   • Forma no estándar: f (x) = a (x - h) + k, donde a, h, k son números reales y a ≠ 0.
     • Por ejemplo, dos ecuaciones de una forma no estándar: f (x) = 9 (x - 4) + 18 y -3 (x - 5) + 1.
   • Para trazar una ecuación cuadrática de cualquier tipo, primero necesitas encontrar el vértice de la parábola, que tiene coordenadas (h, k). Las coordenadas del vértice de la parábola en las ecuaciones de la forma estándar se calculan mediante las fórmulas: h = -b / 2a y k = f (h); las coordenadas del vértice de la parábola en ecuaciones de una forma no estándar se pueden obtener directamente de las ecuaciones.
2. 2 Para trazar el gráfico, debe encontrar los valores numéricos de los coeficientes a, b, c (o a, h, k). En la mayoría de los problemas, las ecuaciones cuadráticas se dan con valores numéricos de los coeficientes.
   • Por ejemplo, en la ecuación estándar f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.
   • Por ejemplo, en una ecuación no estándar f (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.
3. 3 Calcule h en la ecuación estándar (en la no estándar ya está dada) usando la fórmula: h = -b / 2a.
   • En nuestro ejemplo de ecuación estándar, f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.
   • En nuestro ejemplo de una ecuación no estándar, f (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.
4. 4 Calcule k en la ecuación estándar (en la no estándar ya está dada). Recuerda que k = f (h), es decir, puedes encontrar k sustituyendo el valor encontrado de h en lugar de "x" en la ecuación original.
   • Hallaste que h = -4 (para la ecuación estándar). Para calcular k, sustituya este valor por "x":
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • En una ecuación no estándar, k = 12.
5. 5 Dibuja un vértice con coordenadas (h, k) en el plano de coordenadas. h se traza a lo largo del eje X y k se traza a lo largo del eje Y. La parte superior de una parábola es el punto más bajo (si la parábola apunta hacia arriba) o el punto más alto (si la parábola apunta hacia abajo).
   • En nuestro ejemplo de ecuación estándar, el vértice tiene coordenadas (-4, 7). Dibuja este punto en el plano de coordenadas.
   • En nuestro ejemplo de una ecuación personalizada, el vértice tiene coordenadas (5, 12). Dibuja este punto en el plano de coordenadas.
6. 6 Dibuja el eje de simetría de la parábola (opcional). El eje de simetría pasa por el vértice de la parábola paralelo al eje Y (es decir, estrictamente vertical). El eje de simetría divide la parábola por la mitad (es decir, la parábola es simétrica en espejo con respecto a este eje).
   • En nuestra ecuación estándar de ejemplo, el eje de simetría es una línea recta paralela al eje Y que pasa por el punto (-4, 7). Aunque esta línea no forma parte de la parábola en sí, da una idea de la simetría de la parábola.
7. 7 Determina la dirección de la parábola: hacia arriba o hacia abajo. Esto es muy fácil de hacer.Si el coeficiente "a" es positivo, entonces la parábola se dirige hacia arriba, y si el coeficiente "a" es negativo, entonces la parábola se dirige hacia abajo.
   • En nuestro ejemplo de la ecuación estándar, f (x) = 2x + 16x + 39, la parábola apunta hacia arriba, ya que a = 2 (coeficiente positivo).
   • En nuestro ejemplo de una ecuación no estándar f (x) = 4 (x - 5) + 12, la parábola también se dirige hacia arriba, ya que a = 4 (coeficiente positivo).
8. 8 Si es necesario, localice y trace la intersección con el eje x. Estos puntos te ayudarán mucho a la hora de dibujar una parábola. Puede haber dos, uno o ninguno (si la parábola está dirigida hacia arriba y su vértice está por encima del eje X, o si la parábola está dirigida hacia abajo y su vértice está por debajo del eje X). Para calcular las coordenadas de los puntos de intersección con el eje X, haga lo siguiente:
   • Establece la ecuación en cero: f (x) = 0 y resuélvela. Este método funciona con ecuaciones cuadráticas simples (especialmente las no estándar), pero puede ser extremadamente difícil para ecuaciones complejas. En nuestro ejemplo:
     • f (x) = 4 (x - 12) - 4
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • √1 = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. Los puntos de intersección de la parábola con el eje X tienen las coordenadas (11,0) y (13,0).
   • Factoriza la ecuación cuadrática de forma estándar: ax + bx + c = (dx + e) ​​(fx + g), donde dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = C. Luego, establezca cada binomio en 0 y encuentre los valores de "x". Por ejemplo:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • En este caso, hay un solo punto de intersección de la parábola con el eje x con coordenadas (-1,0), porque en x + 1 = 0 x = -1.
   • Si no puede factorizar la ecuación, resuélvala usando la fórmula cuadrática: x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a.
     • Por ejemplo: -5x + 1x + 10.
     • x = (-1 +/- √ (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- √ (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- √ (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) y (-15,18 / -10). Los puntos de intersección de la parábola con el eje X tienen coordenadas (-1,318,0) y (1,518,0).
     • En nuestro ejemplo, las ecuaciones de la forma estándar 2x + 16x + 39:
     • x = (-16 +/- √ (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- √ (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- √ (-56) / - 10
     • Dado que es imposible extraer la raíz cuadrada de un número negativo, en este caso la parábola no interseca el eje X.
9. 9 Localice y trace la intersección con el eje y según sea necesario. Es muy fácil: inserta x = 0 en la ecuación original y encuentra el valor de "y". La intersección con el eje Y es siempre la misma. Nota: en las ecuaciones de la forma estándar, el punto de intersección tiene coordenadas (0, s).
   • Por ejemplo, la parábola de la ecuación cuadrática 2x + 16x + 39 se cruza con el eje Y en el punto con coordenadas (0, 39), ya que c = 39. Pero esto se puede calcular:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39, es decir, la parábola de esta ecuación cuadrática interseca el eje Y en el punto con coordenadas (0, 39).
   • En nuestro ejemplo de una ecuación no estándar 4 (x - 5) + 12, la intersección con el eje y se calcula de la siguiente manera:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0-5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112, es decir, la parábola de esta ecuación cuadrática interseca el eje Y en el punto con coordenadas (0, 112).
10. 10 Ha encontrado (y trazado) el vértice de la parábola, su dirección y los puntos de intersección con los ejes X e Y. Puede construir parábolas a partir de estos puntos o encontrar y trazar puntos adicionales y solo entonces construir una parábola. Para hacer esto, inserte varios valores de x (a cada lado del vértice) en la ecuación original para calcular los valores de y correspondientes.
    • Regresemos a la ecuación x + 2x + 1. Ya sabes que el punto de intersección de la gráfica de esta ecuación con el eje X es el punto con coordenadas (-1,0). Si la parábola tiene solo un punto de intersección con el eje X, entonces este es el vértice de la parábola que se encuentra en el eje X. En este caso, un punto no es suficiente para construir una parábola regular. Así que encuentra algunos puntos extra.
      • Digamos que x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Coordenadas del punto: (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Coordenadas del punto: (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Coordenadas del punto: (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Coordenadas del punto: (-3,4).
      • Dibuja estos puntos en el plano de coordenadas y dibuja una parábola (conecta los puntos con una curva en U). Tenga en cuenta que la parábola es absolutamente simétrica: cualquier punto en una rama de la parábola puede reflejarse (en relación con el eje de simetría) en la otra rama de la parábola. Esto le ahorrará tiempo, ya que no necesita calcular las coordenadas de los puntos en ambas ramas de la parábola.

Consejos

• Redondea números fraccionarios (si este es un requisito del maestro); así es como construyes una parábola correcta.
• Si en f (x) = ax + bx + c los coeficientes b o c son iguales a cero, entonces no hay términos con estos coeficientes en la ecuación.Por ejemplo, 12x + 0x + 6 se convierte en 12x + 6 porque 0x es 0.