Contenido

• Pasos

Una ecuación trigonométrica contiene una o más funciones trigonométricas de la variable "x" (o cualquier otra variable). Resolver una ecuación trigonométrica es encontrar un valor "x" que satisfaga la función o funciones y la ecuación como un todo.

• Las soluciones de las ecuaciones trigonométricas se expresan en grados o radianes. Ejemplos:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 grados; x = 37,12 grados; x = 178,37 grados.

• Nota: los valores de las funciones trigonométricas de ángulos, expresados ​​en radianes, y de ángulos, expresados ​​en grados, son iguales. Un círculo trigonométrico con un radio igual a uno se usa para describir funciones trigonométricas, así como para verificar la exactitud de la solución de las ecuaciones y desigualdades trigonométricas básicas.
• Ejemplos de ecuaciones trigonométricas:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
  • cos 3x + sen 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Un círculo trigonométrico con un radio de uno (círculo unitario).
   • Es un círculo con un radio igual a uno y centro en el punto O. El círculo unitario describe 4 funciones trigonométricas básicas de la variable "x", donde "x" es el ángulo medido desde la dirección positiva del eje X en sentido antihorario.
   • Si "x" es algún ángulo en el círculo unitario, entonces:
   • El eje horizontal OAx define la función F (x) = cos x.
   • El eje vertical OBy define la función F (x) = sen x.
   • El eje vertical AT define la función F (x) = tan x.
   • El eje horizontal BU define la función F (x) = ctg x.

• El círculo unitario también se usa para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas básicas (en él se consideran diferentes posiciones de "x").

Pasos

1. 1 El concepto de resolver ecuaciones trigonométricas.
   • Para resolver una ecuación trigonométrica, conviértala en una o más ecuaciones trigonométricas básicas. Resolver una ecuación trigonométrica finalmente se reduce a resolver cuatro ecuaciones trigonométricas básicas.
2. 2 Resolver ecuaciones trigonométricas básicas.
   • Hay 4 tipos de ecuaciones trigonométricas básicas:
   • sen x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Resolver ecuaciones trigonométricas básicas implica mirar las diferentes posiciones x en el círculo unitario y usar una tabla de conversión (o calculadora).
   • Ejemplo 1 sin x = 0,866. Usando una tabla de conversión (o calculadora), obtienes la respuesta: x = π / 3. El círculo unitario da otra respuesta: 2π / 3. Recuerda: todas las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, sus valores se repiten. Por ejemplo, la periodicidad de sen x y cos x es 2πn, y la periodicidad de tg x y ctg x es πn. Por lo tanto, la respuesta se escribe de la siguiente manera:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Ejemplo 2.cos x = -1/2. Usando una tabla de conversión (o calculadora), obtienes la respuesta: x = 2π / 3. El círculo unitario da otra respuesta: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Ejemplo 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Respuesta: x = π / 4 + πn.
   • Ejemplo 4. ctg 2x = 1.732.
   • Respuesta: x = π / 12 + πn.
3. 3 Transformaciones utilizadas para resolver ecuaciones trigonométricas.
   • Para transformar ecuaciones trigonométricas se utilizan transformaciones algebraicas (factorización, reducción de términos homogéneos, etc.) e identidades trigonométricas.
   • Ejemplo 5. Usando identidades trigonométricas, la ecuación sin x + sin 2x + sin 3x = 0 se transforma en la ecuación 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Por lo tanto, necesitas resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas básicas: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Encontrar ángulos a partir de valores conocidos de funciones.
   • Antes de aprender métodos para resolver ecuaciones trigonométricas, debe aprender a encontrar ángulos a partir de valores conocidos de funciones. Esto se puede hacer usando una tabla de conversión o una calculadora.
   • Ejemplo: cos x = 0,732. La calculadora dará la respuesta x = 42,95 grados. El círculo unitario dará ángulos adicionales, cuyo coseno también es 0,732.
5. 5 Deje la solución a un lado en el círculo unitario.
   • Puede diferir las soluciones a la ecuación trigonométrica en el círculo unitario. Las soluciones de la ecuación trigonométrica en el círculo unitario son los vértices de un polígono regular.
   • Ejemplo: Las soluciones x = π / 3 + πn / 2 en el círculo unitario son los vértices de un cuadrado.
   • Ejemplo: Las soluciones x = π / 4 + πn / 3 en el círculo unitario representan los vértices de un hexágono regular.
6. 6 Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.
   • Si una ecuación trigonométrica dada contiene solo una función trigonométrica, resuelva esa ecuación como la ecuación trigonométrica básica.Si una ecuación dada incluye dos o más funciones trigonométricas, entonces existen 2 métodos para resolver dicha ecuación (dependiendo de la posibilidad de su transformación).
     • Método 1.
   • Convierta esta ecuación a una ecuación de la forma: f (x) * g (x) * h (x) = 0, donde f (x), g (x), h (x) son las ecuaciones trigonométricas básicas.
     
     
   • Ejemplo 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Solución. Usando la fórmula de doble ángulo sin 2x = 2 * sin x * cos x, reemplace sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Ahora resuelva las dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos x = 0 y (sin x + 1) = 0.
   • Ejemplo 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Solución: Usando identidades trigonométricas, transforme esta ecuación en una ecuación de la forma: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Ahora resuelva las dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0 y (2cos x + 1) = 0.
   • Ejemplo 8 sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Solución: Usando identidades trigonométricas, transforme esta ecuación en una ecuación de la forma: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Ahora resuelva las dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0 y (2sin x + 1) = 0.
     • Método 2.
   • Convierta la ecuación trigonométrica dada en una ecuación que contenga solo una función trigonométrica. Luego reemplace esta función trigonométrica con alguna desconocida, por ejemplo, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, etc.).
   • Ejemplo 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Solución. En esta ecuación, reemplace (cos ^ 2 x) con (1 - sin ^ 2 x) (por identidad). La ecuación transformada es:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Reemplaza sin x con t. La ecuación ahora se ve así: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Esta es una ecuación cuadrática con dos raíces: t1 = -1 y t2 = 9/5. La segunda raíz t2 no satisface el rango de valores de la función (-1 sin x 1). Ahora decida: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Ejemplo 10 tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Solución. Reemplaza tg x con t. Vuelva a escribir la ecuación original de la siguiente manera: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Ahora encuentre t y luego encuentre x para t = tg x.
7. 7 Ecuaciones trigonométricas especiales.
   • Hay varias ecuaciones trigonométricas especiales que requieren transformaciones específicas. Ejemplos:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Periodicidad de funciones trigonométricas.
   • Como se mencionó anteriormente, todas las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, sus valores se repiten después de un cierto período. Ejemplos:
     • El período de la función f (x) = sin x es 2π.
     • El período de la función f (x) = tan x es igual a π.
     • El período de la función f (x) = sin 2x es π.
     • El período de la función f (x) = cos (x / 2) es 4π.
   • Si el período se especifica en el problema, calcule el valor "x" dentro de este período.
   • Nota: Resolver ecuaciones trigonométricas no es una tarea fácil y, a menudo, conduce a errores. Así que revisa tus respuestas con cuidado. Para hacer esto, puede usar una calculadora gráfica para trazar la ecuación dada R (x) = 0. En tales casos, las soluciones se presentarán como fracciones decimales (es decir, π se reemplaza por 3.14).