Contenido

• Información preliminar
• Pasos
• Parte 1 de 3: Conceptos básicos
• Parte 2 de 3: Propiedades de la transformada de Laplace
• Parte 3 de 3: Encontrar la transformada de Laplace por expansión de serie

La transformada de Laplace es una transformada integral que se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. Esta transformación se usa ampliamente en física e ingeniería.

Si bien puede usar las tablas adecuadas, es útil comprender la transformada de Laplace para que pueda hacerlo usted mismo si es necesario.

Información preliminar

• Dada una función ${ Displaystyle f (t)}$definido para ${ Displaystyle t geq 0.}$ Luego Transformada de Laplace función ${ Displaystyle f (t)}$ es la siguiente función de cada valor ${ Displaystyle s}$, en el que converge la integral:
  • ${ Displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• La transformada de Laplace toma una función de la región t (escala de tiempo) a la región s (región de transformación), donde ${ Displaystyle F (s)}$ es una función compleja de una variable compleja. Le permite mover la función a un área donde se puede encontrar una solución más fácilmente.
• Obviamente, la transformada de Laplace es un operador lineal, por lo que si se trata de una suma de términos, cada integral se puede calcular por separado.
  • ${ Displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Recuerde que la transformada de Laplace solo funciona si la integral converge. Si la función ${ Displaystyle f (t)}$ tiene discontinuidades, es necesario tener cuidado y establecer correctamente los límites de integración para evitar la incertidumbre.

Pasos

Parte 1 de 3: Conceptos básicos

1. 1 Sustituye la función en la fórmula de la transformada de Laplace. En teoría, la transformada de Laplace de una función es muy fácil de calcular. Como ejemplo, considere la función ${ Displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, donde ${ Displaystyle a}$ es una constante compleja con ${ Displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Estima la integral usando los métodos disponibles. En nuestro ejemplo, la estimación es muy simple y puede arreglárselas con cálculos simples. En casos más complejos, pueden ser necesarios métodos más complejos, por ejemplo, integración por partes o diferenciación bajo el signo integral. Condición de restricción ${ Displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ significa que la integral converge, es decir, su valor tiende a 0 cuando ${ Displaystyle t a infty.}$
   • ${ Displaystyle { begin {alineado} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(como) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {alineado}}}$
   • Tenga en cuenta que esto nos da dos tipos de transformada de Laplace, con seno y coseno, ya que de acuerdo con la fórmula de Euler ${ displaystyle e ^ {iat}}$... En este caso, en el denominador obtenemos ${ Displaystyle s-ia,}$ y solo queda determinar las partes reales e imaginarias. También puede evaluar el resultado directamente, pero eso llevaría un poco más de tiempo.
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} { cos en } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} { sin en } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Considere la transformada de Laplace de una función de potencia. Primero, necesita definir la transformación de la función de potencia, ya que la propiedad de linealidad le permite encontrar la transformación para de todo polinomios. Una función de la forma ${ Displaystyle t ^ {n},}$ donde ${ Displaystyle n}$ - cualquier entero positivo. Puede integrarse pieza a pieza para definir una regla recursiva.
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Este resultado se expresa implícitamente, pero si sustituye varios valores ${ Displaystyle n,}$ puede establecer un patrón determinado (intente hacerlo usted mismo), que le permite obtener el siguiente resultado:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • También puede definir la transformada de Laplace de potencias fraccionarias utilizando la función gamma. Por ejemplo, de esta manera puede encontrar la transformación de una función como ${ Displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Aunque las funciones con potencias fraccionarias deben tener cortes (recuerde, cualquier número complejo ${ Displaystyle z}$ y ${ Displaystyle alpha}$ Se puede escribir como ${ Displaystyle z ^ { alpha}}$, porque el ${ Displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), siempre se pueden definir de tal manera que los cortes queden en el semiplano izquierdo, y así evitar problemas de analiticidad.

Parte 2 de 3: Propiedades de la transformada de Laplace

1. 1 Encontremos la transformada de Laplace de la función multiplicada por miat{ Displaystyle e ^ {at}}. Los resultados obtenidos en el apartado anterior nos permitieron conocer algunas propiedades interesantes de la transformada de Laplace. La transformada de Laplace de funciones como coseno, seno y función exponencial parece ser más simple que la función de potencia transformada. Multiplicación por ${ Displaystyle e ^ {at}}$ en la región t corresponde a cambio en la región s:
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Esta propiedad le permite encontrar inmediatamente la transformación de funciones como ${ Displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, sin tener que calcular la integral:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Encontremos la transformada de Laplace de la función multiplicada por tnorte{ Displaystyle t ^ {n}}. Primero, considere la multiplicación por ${ Displaystyle t}$... Por definición, uno puede diferenciar una función bajo una integral y obtener un resultado sorprendentemente simple:
   • ${ Displaystyle { begin {alineado} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {alineado}}}$
   • Repitiendo esta operación, obtenemos el resultado final:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Si bien la reordenación de los operadores de integración y diferenciación requiere alguna justificación adicional, no la presentaremos aquí, sino que solo notaremos que esta operación es correcta si el resultado final tiene sentido. También puede tener en cuenta el hecho de que las variables ${ Displaystyle s}$ y ${ Displaystyle t}$ no dependan el uno del otro.
   • Usando esta regla, es fácil encontrar la transformación de funciones como ${ Displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, sin reintegración por partes:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Encuentra la transformada de Laplace de la función F(at){ displaystyle f (en)}. Esto se puede hacer fácilmente reemplazando la variable con u usando la definición de una transformación:
   • ${ displaystyle { begin {alineado} { mathcal {L}} {f (en) } & = int _ {0} ^ { infty} f (en) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = en & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F left ({ frac {s} {a}} right) end {alineado}}}$
   • Arriba, encontramos la transformada de funciones de Laplace ${ Displaystyle sin en}$ y ${ Displaystyle cos en}$ directamente de la función exponencial. Usando esta propiedad, puede obtener el mismo resultado si encuentra las partes real e imaginaria ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Encuentra la transformada de Laplace de la derivada F′(t){ Displaystyle f ^ { prime} (t)}. A diferencia de los ejemplos anteriores, en este caso tengo que integrar pieza a pieza:
   • ${ Displaystyle { begin {alineado} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {alineado}}}$
   • Dado que la segunda derivada ocurre en muchos problemas físicos, también encontramos la transformada de Laplace para ella:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • En el caso general, la transformada de Laplace de la derivada de n-ésimo orden se define de la siguiente manera (esto permite resolver ecuaciones diferenciales usando la transformada de Laplace):
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Parte 3 de 3: Encontrar la transformada de Laplace por expansión de serie

1. 1 Encontremos la transformada de Laplace para una función periódica. La función periódica satisface la condición ${ Displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ donde ${ Displaystyle T}$ es el período de la función, y ${ Displaystyle n}$ es un número entero positivo. Las funciones periódicas se utilizan ampliamente en muchas aplicaciones, incluido el procesamiento de señales y la ingeniería eléctrica. Usando transformaciones simples, obtenemos el siguiente resultado:
   • ${ Displaystyle { begin {alineado} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { alineado}}}$
   • Como puede ver, en el caso de una función periódica, es suficiente realizar la transformada de Laplace durante un período.
2. 2 Realice la transformada de Laplace para el logaritmo natural. En este caso, la integral no se puede expresar en forma de funciones elementales. El uso de la función gamma y su expansión en serie le permite estimar el logaritmo natural y sus grados. La presencia de la constante de Euler-Mascheroni ${ Displaystyle gamma}$ muestra que para estimar esta integral, es necesario utilizar una expansión en serie.
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Considere la transformada de Laplace de la función sinc no normalizada. Función ${ Displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ ampliamente utilizado para el procesamiento de señales, en ecuaciones diferenciales es equivalente a la función esférica de Bessel de primer tipo y orden cero ${ Displaystyle j_ {0} (x).}$ La transformada de Laplace de esta función tampoco se puede calcular mediante métodos estándar. En este caso, se lleva a cabo la transformación de los miembros individuales de la serie, que son funciones de potencia, por lo que sus transformaciones necesariamente convergen en un intervalo dado.
   • Primero, escribimos la expansión de la función en una serie de Taylor:
     • ${ Displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Ahora usamos la transformada de Laplace ya conocida de una función de potencia. Los factoriales se cancelan, y como resultado obtenemos la expansión de Taylor para el arco tangente, es decir, una serie alterna que se asemeja a la serie de Taylor para el seno, pero sin factoriales:
     • ${ Displaystyle { begin {alineado} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {alineado}}}$