Contenido

• Pasos
• Método 1 de 3: Cómo encontrar el lado desconocido
• Método 2 de 3: encontrar un ángulo desconocido
• Método 3 de 3: problemas de muestra
• Consejos

El teorema del coseno se usa ampliamente en trigonometría. Se utiliza cuando se trabaja con triángulos irregulares para encontrar cantidades desconocidas como lados y ángulos. El teorema es similar al teorema de Pitágoras y es bastante fácil de recordar. El teorema del coseno dice que en cualquier triángulo ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Pasos

Método 1 de 3: Cómo encontrar el lado desconocido

1. 1 Anote los valores conocidos. Para encontrar el lado desconocido de un triángulo, necesitas conocer los otros dos lados y el ángulo entre ellos.
   • Por ejemplo, dado un triángulo XYZ. El lado YX mide 5 cm, el lado YZ mide 9 cm y el ángulo Y es 89 °. ¿Qué es el lado XZ?
2. 2 Escribe la fórmula del teorema del coseno. Fórmula: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, donde ${ Displaystyle c}$ - parte desconocida, ${ Displaystyle cos {C}}$ - coseno del ángulo opuesto al lado desconocido, ${ Displaystyle a}$ y ${ Displaystyle b}$ - dos caras conocidas.
3. 3 Reemplaza los valores conocidos en la fórmula. Variables ${ Displaystyle a}$ y ${ Displaystyle b}$ denotar dos lados conocidos. Variable ${ Displaystyle C}$ es el ángulo conocido que se encuentra entre los lados ${ Displaystyle a}$ y ${ Displaystyle b}$.
   • En nuestro ejemplo, el lado XZ es desconocido, por lo que en la fórmula se denota como ${ Displaystyle c}$... Dado que los lados YX e YZ son conocidos, se indican mediante las variables ${ Displaystyle a}$ y ${ Displaystyle b}$... Variable ${ Displaystyle C}$ es el ángulo Y. Entonces, la fórmula se escribirá de la siguiente manera: ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Encuentra el coseno de un ángulo conocido. Hágalo con una calculadora. Ingrese un valor de ángulo y luego haga clic en ${ Displaystyle COS}$... Si no tiene una calculadora científica, busque una tabla de coseno en línea, por ejemplo, aquí. También en Yandex, puede ingresar "coseno de X grados" (sustituya el valor del ángulo por X), y el motor de búsqueda mostrará el coseno del ángulo.
   • Por ejemplo, el coseno es 89 ° ≈ 0.01745. Entonces: ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 Multiplica los números. Multiplicar ${ displaystyle 2ab}$ por el coseno de un ángulo conocido.
   • Por ejemplo:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 Dobla los cuadrados de los lados conocidos. Recuerde, para elevar un número al cuadrado, debe multiplicarse por sí mismo. Primero, eleva al cuadrado los números correspondientes y luego suma los valores resultantes.
   • Por ejemplo:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 Resta dos números. Usted encontrará ${ Displaystyle c ^ {2}}$.
   • Por ejemplo:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104,4293}$
8. 8 Saca la raíz cuadrada de este valor. Para hacer esto, use una calculadora. Así es como encuentras el lado desconocido.
   • Por ejemplo:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104,4293}$
     ${ Displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ Displaystyle c = 10.2191}$
     Entonces, el lado desconocido es 10.2191 cm.

Método 2 de 3: encontrar un ángulo desconocido

1. 1 Anote los valores conocidos. Para encontrar el ángulo desconocido de un triángulo, necesitas conocer los tres lados del triángulo.
   • Por ejemplo, dado un triángulo RST. Lado CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm Encuentre el valor del ángulo S.
2. 2 Escribe la fórmula del teorema del coseno. Fórmula: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, donde ${ Displaystyle cos {C}}$ - coseno de un ángulo desconocido, ${ Displaystyle c}$ - un lado conocido opuesto a una esquina desconocida, ${ Displaystyle a}$ y ${ Displaystyle b}$ - otras dos fiestas famosas.
3. 3 Encuentra los valores a{ Displaystyle a}, B{ Displaystyle b} y C{ Displaystyle c}. Luego, conéctelos a la fórmula.
   • Por ejemplo, el lado RT es opuesto al ángulo desconocido S, por lo que el lado RT es ${ Displaystyle c}$ en la fórmula. Otras partes lo harán ${ Displaystyle a}$ y ${ Displaystyle b}$... Entonces, la fórmula se escribirá de la siguiente manera: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Multiplica los números. Multiplicar ${ displaystyle 2ab}$ por el coseno del ángulo desconocido.
   • Por ejemplo, ${ Displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Erguido C{ Displaystyle c} en un cuadrado. Es decir, multiplica el número en sí.
   • Por ejemplo, ${ Displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Dobla los cuadrados a{ Displaystyle a} y B{ Displaystyle b}. Pero primero, eleve al cuadrado los números correspondientes.
   • Por ejemplo:
     ${ Displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Aísle el coseno del ángulo desconocido. Para hacer esto, reste la cantidad ${ Displaystyle a ^ {2}}$ y ${ Displaystyle b ^ {2}}$ de ambos lados de la ecuación. Luego, divide cada lado de la ecuación por el factor en el coseno del ángulo desconocido.
   • Por ejemplo, para aislar el coseno de un ángulo desconocido, reste 164 de ambos lados de la ecuación y luego divida cada lado por -160:
     ${ Displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ Displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ Displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ Displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 Calcula el coseno inverso. Esto encontrará el valor del ángulo desconocido. En la calculadora, la función coseno inversa se denota ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Por ejemplo, el arcocoseno de 0.0125 es 82.8192. Entonces el ángulo S es 82.8192 °.

Método 3 de 3: problemas de muestra

1. 1 Encuentra el lado desconocido del triángulo. Los lados conocidos miden 20 cm y 17 cm, y el ángulo entre ellos es de 68 °.
   • Como tienes dos lados y el ángulo entre ellos, puedes usar el teorema del coseno. Escribe la fórmula: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • El lado desconocido es ${ Displaystyle c}$... Reemplaza los valores conocidos en la fórmula: ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Calcular ${ Displaystyle c ^ {2}}$, observando el orden de las operaciones matemáticas:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254,7325}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434,2675}$
   • Saca la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Así es como encuentras el lado desconocido:
     ${ Displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ Displaystyle c = 20,8391}$
     Entonces, el lado desconocido es 20.8391 cm.
2. 2 Encuentra el ángulo H en el triángulo GHI. Los dos lados adyacentes a la esquina H son 22 y 16 cm. El lado opuesto a la esquina H es 13 cm.
   • Dado que se dan los tres lados, se puede usar el teorema del coseno. Escribe la fórmula: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • El lado opuesto a la esquina desconocida es ${ Displaystyle c}$... Reemplaza los valores conocidos en la fórmula: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Simplifica la expresión resultante:
     ${ Displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Aislar el coseno:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ Displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Encuentra el coseno inverso. Así es como se calcula el ángulo desconocido:
     ${ Displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35,7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Por tanto, el ángulo H es 35,7985 °.
3. 3 Calcula la longitud del camino. Los caminos del río, Hilly y Marsh forman un triángulo. La longitud del River Trail es de 3 km, la longitud del Hilly Trail es de 5 km; estos senderos se cruzan entre sí en un ángulo de 135 °. El sendero del pantano conecta los dos extremos de los otros senderos. Encuentra la longitud del sendero del pantano.
   • Los senderos forman un triángulo. Necesitas encontrar la longitud del camino desconocido, que es el lado del triángulo. Dado que se dan las longitudes de los otros dos caminos y el ángulo entre ellos, se puede usar el teorema del coseno.
   • Escribe la fórmula: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • El camino desconocido (pantano) se indicará como ${ Displaystyle c}$... Reemplaza los valores conocidos en la fórmula: ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Calcular ${ Displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) (- 0,7071)}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - (- 21,2132)}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55,2132}$
   • Saca la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Así es como encuentras la longitud de la ruta desconocida:
     ${ Displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ Displaystyle c = 7.4306}$
     Entonces, la longitud del Swamp Trail es de 7.4306 km.

Consejos

• Es más fácil usar el teorema del seno. Por lo tanto, primero averigüe si se puede aplicar al problema dado.