Contenido

• Pasos
• Consejo

A diferencia de una línea recta, el coeficiente de pendiente (pendiente) cambia constantemente a medida que se mueve a lo largo de la curva. El cálculo da la idea de que cada punto del gráfico se puede expresar como un coeficiente de ángulo o "tasa de cambio instantánea". La recta tangente en un punto es una recta que tiene el mismo coeficiente angular y pasa por el mismo punto. Para encontrar una ecuación de recta tangente, necesita saber cómo derivar la ecuación original.

Pasos

Método 1 de 2: encuentra la ecuación de la recta tangente

1. 

   Grafica funciones y líneas tangentes (este paso es opcional, pero recomendado). El cuadro le facilitará la comprensión del problema y comprobará si la respuesta es razonable o no. Dibuje un gráfico funcional en papel de trazado, use la calculadora científica con función gráfica como referencia si es necesario. Dibuja una recta tangente a través de un punto dado (recuerda que la recta tangente pasa por ese punto y tiene la misma pendiente que la gráfica).
   • Ejemplo 1: Dibujar una parábola. Dibuja una línea tangente a través del punto (-6, -1).
     Aunque no conoce la ecuación de la tangente, aún puede ver que su pendiente es negativa y la ordenada es negativa (muy por debajo del vértice parabólico con la ordenada de -5.5). Si la respuesta final encontrada no coincide con estos detalles, debe haber un error en su cálculo y debe verificar nuevamente.

2. 

   
   
   Obtén la primera derivada para encontrar la ecuación Pendiente de la recta tangente. Con la función f (x), la primera derivada f '(x) representa la ecuación para la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de f (x). Hay muchas formas de tomar derivados. Aquí hay un ejemplo simple usando la regla de potencia:
   • Ejemplo 1 (cont.): La gráfica viene dada por una función.
     Recordando la regla de la potencia al tomar derivada:.
     La primera derivada de la función = f '(x) = (2) (0.5) x + 3-0.
     f '(x) = x + 3. Reemplaza x con cualquier valor a, la ecuación nos dará la pendiente de la función de recta tangente f (x) en el punto x = a.

3. 

   
   
   Ingrese el valor x del punto en consideración. Lee el problema para encontrar las coordenadas del punto para encontrar la recta tangente. Ingrese la coordenada de este punto en f '(x). El resultado obtenido es la pendiente de la recta tangente en el punto anterior.
   • Ejemplo 1 (cont.): El punto mencionado en el artículo es (-6, -1). Usando voltaje diagonal -6 en f '(x):
     f '(- 6) = -6 + 3 = -3
     La pendiente de la recta tangente es -3.

4. 

   
   
   Escribe una ecuación para una línea tangente con la forma de una línea recta conociendo el coeficiente del ángulo y un punto en él. Esta ecuación lineal se escribe como. Dentro, metro es la pendiente y es un punto en la recta tangente. Ahora tiene toda la información que necesita para escribir una ecuación tangente en esta forma.
   • Ejemplo 1 (cont.):
     La pendiente de la recta tangente es -3, entonces:
     La recta tangente pasa por el punto (-6, -1), por lo que la ecuación final es:
     En resumen, podemos:
     

5. 

   Confirmación gráfica. Si tiene una calculadora gráfica, trace la función original y la recta tangente para verificar si la respuesta es correcta. Si realiza cálculos en papel, utilice gráficos dibujados anteriormente para asegurarse de que no haya errores obvios en su respuesta.
   • Ejemplo 1 (cont.): El dibujo inicial muestra que la recta tangente tiene coeficientes de ángulo negativos y el desplazamiento está muy por debajo de -5,5. La ecuación de la tangente que acaba de encontrar es y = -3x -19, lo que significa que -3 es la pendiente del ángulo y -19 es la ordenada.

6. 

   Intente resolver un problema más difícil. Repasamos todos los pasos anteriores nuevamente.En este punto, el objetivo es encontrar la recta tangente de en x = 2:
   • Encuentra la primera derivada usando la regla de la potencia :. Esta función nos dará la pendiente de la tangente.
   • Para x = 2, encuentre. Esta es la pendiente en x = 2.
   • Tenga en cuenta que esta vez, no tenemos un punto y solo la coordenada x. Para encontrar la coordenada y, reemplace x = 2 en la función original :. La puntuación es (2,27).
   • Escribe una ecuación para una recta tangente que pasa por un punto y tiene el coeficiente del ángulo determinado:
     
     Si es necesario, reduzca ay = 25x - 23.
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Método 2 de 2: resolver problemas relacionados

1. 

   Encuentra el extremo en la gráfica. Son los puntos en los que el gráfico se acerca a un máximo local (un punto más alto que los puntos vecinos en ambos lados) o un mínimo local (más bajo que los puntos vecinos en ambos lados). La línea tangente siempre tiene un coeficiente cero en estos puntos (una línea horizontal). Sin embargo, el coeficiente del ángulo no es suficiente para concluir que es el punto extremo. He aquí cómo encontrarlos:
   • Toma la primera derivada de la función para obtener f '(x), la pendiente de la pendiente de la recta tangente.
   • Resuelve la ecuación f '(x) = 0 para encontrar el punto extremo potencial.
   • Tomando la derivada cuadrática para obtener f '(x), la ecuación nos dice la tasa de cambio de la pendiente de la recta tangente.
   • En cada extremo potencial, cambie la coordenada un en f '' (x). Si f '(a) es positivo, tenemos un mínimo local en un. Si f '(a) es negativo, tenemos un punto máximo local. Si f '(a) es 0, no será el extremo, es un punto de inflexión.
   • Si se alcanza el máximo o mínimo en un, encuentre f (a) para determinar la intersección.

2. 

   Encuentra las ecuaciones de la normal. La línea "normal" de una curva en un punto dado pasa a través de ese punto y es perpendicular a la línea tangente. Para encontrar la ecuación de la normal, use lo siguiente: (pendiente de la normal) (pendiente de la normal) = -1 cuando pasan el mismo punto en la gráfica. Específicamente:
   • Encuentre f '(x), la pendiente de la recta tangente.
   • Si en un punto dado, tenemos x = un: encuentre f '(a) para determinar la pendiente en ese punto.
   • Calcula para encontrar el coeficiente de la normal.
   • Escribe la ecuación de la perpendicular para conocer los coeficientes del ángulo y un punto por el que pasa.
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Consejo

• Si es necesario, vuelva a escribir la ecuación original en forma estándar: f (x) = ... o y = ...