Cómo calcular la velocidad instantánea

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Contenido

Pasos
Parte 1 de 3: Cálculo de la velocidad instantánea
Parte 2 de 3: Estimación gráfica de la velocidad instantánea
Parte 3 de 3: Ejemplos
Consejos

La velocidad es la velocidad a la que un objeto se mueve en una dirección determinada. Para propósitos generales, encontrar la velocidad de un objeto (v) es una tarea simple: necesita dividir el (los) desplazamiento (s) durante un tiempo (s) determinado (s) por este tiempo (t), es decir, use la fórmula v = s / t. Sin embargo, de esta forma se obtiene una velocidad corporal media. Usando algunos cálculos, puede encontrar la velocidad del cuerpo en cualquier punto a lo largo del camino. Esta velocidad se llama velocidad instantánea y se calcula mediante la fórmula v = (ds) / (dt), es decir, es una derivada de la fórmula para calcular la velocidad promedio del cuerpo.

Pasos

Parte 1 de 3: Cálculo de la velocidad instantánea

1 Empiece con la ecuación. Para calcular la velocidad instantánea, es necesario conocer la ecuación que describe el movimiento del cuerpo (su posición en un determinado momento en el tiempo), es decir, dicha ecuación en un lado de la cual es s (movimiento del cuerpo), y por otro lado hay términos con la variable t (tiempo). Por ejemplo:
s = -1,5t + 10t + 4
- En esta ecuación:
  Mover = s... El movimiento es el camino recorrido por el objeto. Por ejemplo, si el cuerpo se ha movido 10 m hacia adelante y 7 m hacia atrás, entonces el movimiento total del cuerpo es 10 - 7 = 3m (ya 10 + 7 = 17 m).
  Tiempo = t... Por lo general, se mide en segundos.
2 Calcula la derivada de la ecuación. Para encontrar la velocidad instantánea de un cuerpo cuyos desplazamientos se describen en la ecuación anterior, debe calcular la derivada de esta ecuación. Una derivada es una ecuación que calcula la pendiente de un gráfico en cualquier punto (en cualquier momento). Para encontrar la derivada, diferencia la función de la siguiente manera: si y = a * x, entonces derivada = a * n * x... Esta regla se aplica a todos los miembros del polinomio.
- En otras palabras, la derivada de cada término con variable t es igual al producto del factor (frente a la variable) y la potencia de la variable multiplicada por la variable a la potencia igual a la potencia original menos 1. La libre término (término sin variable, es decir, un número) desaparece porque se multiplica por 0. En nuestro ejemplo:
  s = -1,5t + 10t + 4
  (2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
  -3t + 10t
  -3t + 10
3 Reemplaza "s" por "ds / dt" para indicar que la nueva ecuación es una derivada de la ecuación original (es decir, s es una derivada de t). La derivada es la pendiente del gráfico en un punto específico (en un punto específico en el tiempo). Por ejemplo, para encontrar la pendiente de la línea s = -1.5t + 10t + 4 en t = 5, simplemente ingrese 5 en la ecuación derivada.
- En nuestro ejemplo, la ecuación derivada debería verse así:
  ds / dt = -3t + 10
4 Sustituya el valor t apropiado en la ecuación derivada para encontrar la velocidad instantánea en un punto particular en el tiempo. Por ejemplo, si desea encontrar la velocidad instantánea en t = 5, simplemente inserte 5 (en lugar de t) en la ecuación derivada ds / dt = -3 + 10. Luego, resuelva la ecuación:
ds / dt = -3t + 10
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 m / s
- Preste atención a la unidad de medida de la velocidad instantánea: m / s. Como se nos da el valor del desplazamiento en metros, el tiempo en segundos y la velocidad es igual a la relación entre el desplazamiento y el tiempo, la unidad de medida m / s es correcta.

Parte 2 de 3: Estimación gráfica de la velocidad instantánea

1 Traza el movimiento del cuerpo. En el capítulo anterior, calculó la velocidad instantánea usando una fórmula (ecuación derivada que le permite encontrar la pendiente de una gráfica en un punto en particular). Habiendo construido un gráfico del movimiento del cuerpo, puede encontrar su pendiente en cualquier punto y, por lo tanto, determinar la velocidad instantánea en un momento determinado.
- El eje Y es el movimiento y el eje X es el tiempo. Las coordenadas de los puntos (x, y) se obtienen sustituyendo diferentes valores de t en la ecuación de desplazamiento original y calculando los valores correspondientes de s.
- El gráfico puede caer por debajo del eje X. Si el gráfico del movimiento del cuerpo cae por debajo del eje X, significa que el cuerpo se mueve en la dirección opuesta al punto de origen del movimiento. Como regla general, el gráfico no se extiende más allá del eje Y (valores x negativos); ¡no medimos la velocidad de los objetos que se mueven hacia atrás en el tiempo!
2 Seleccione el punto P y el punto Q cerca de él en el gráfico (curva). Para encontrar la pendiente de la gráfica en el punto P, usamos el concepto de límite. Límite: un estado en el que el valor de la secante trazada a través de 2 puntos P y Q que se encuentran en la curva tiende a cero.
- Por ejemplo, considere los puntos P (1,3) y Q (4,7) y calcule la velocidad instantánea en el punto P.
3 Encuentra la pendiente del segmento de recta PQ. La pendiente del segmento PQ es igual a la razón de la diferencia en los valores de las coordenadas "y" de los puntos P y Q a la diferencia en los valores de las coordenadas "x" de los puntos P y P. En otras palabras, H = (y_Q - y_PAG) / (X_Q - X_PAG), donde H es la pendiente del segmento PQ. En nuestro ejemplo, la pendiente del segmento PQ es:
H = (y_Q - y_PAG) / (X_Q - X_PAG)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1.33
4 Repita el proceso varias veces, acercando el punto Q al punto P. Cuanto menor sea la distancia entre dos puntos, más cercana será la pendiente de los segmentos obtenidos a la pendiente del gráfico en el punto P. En nuestro ejemplo, realizaremos cálculos para el punto Q con coordenadas (2,4.8), (1.5,3.95 ) y (1.25,3.49) (las coordenadas del punto P siguen siendo las mismas):
Q = (2,4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
H = (1,8) / (1) = 1.8

Q = (1.5,3.95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
H = (.95) / (. 5) = 1.9

Q = (1.25,3.49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
H = (.49) / (. 25) = 1.96
5 Cuanto menor sea la distancia entre los puntos P y Q, más cerca estará el valor de H de la pendiente del gráfico en el punto P. Con una distancia extremadamente pequeña entre los puntos P y Q, el valor de H será igual a la pendiente de la gráfico en el punto P Dado que no podemos medir o calcular la distancia extremadamente pequeña entre dos puntos, el método gráfico da un valor estimado de la pendiente del gráfico en el punto P.
- En nuestro ejemplo, al acercarnos de Q a P, recibimos los siguientes valores de H: 1.8; 1,9 y 1,96. Dado que estos números tienden a 2, podemos decir que la pendiente de la gráfica en el punto P es igual a 2.
- Recuerde que la pendiente de la gráfica en un punto dado es igual a la derivada de la función (mediante la cual se construye esta gráfica) en ese punto. El gráfico muestra el movimiento de un cuerpo a lo largo del tiempo y, como se señaló en la sección anterior, la velocidad instantánea de un cuerpo es igual a la derivada de la ecuación para el movimiento de este cuerpo. Por tanto, podemos afirmar que en t = 2 la rapidez instantánea es igual a 2 mps (esto es una estimación).

Parte 3 de 3: Ejemplos

1 Calcule la velocidad instantánea en t = 4 si el movimiento del cuerpo se describe mediante la ecuación s = 5t - 3t + 2t + 9. Este ejemplo es similar al problema de la primera sección con la única diferencia de que la ecuación es de tercer orden (no de segundo).
- Primero, calculamos la derivada de esta ecuación:
  s = 5t - 3t + 2t + 9
  s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
  15t - 6t + 2t - 6t + 2
- Ahora sustituimos el valor t = 4 en la ecuación derivada:
  s = 15t - 6t + 2
  15(4) - 6(4) + 2
  15(16) - 6(4) + 2
  240 - 24 + 2 = 22 m / s
2 Estimemos el valor de la velocidad instantánea en el punto con coordenadas (1,3) en la gráfica de la función s = 4t - t. En este caso, el punto P tiene coordenadas (1,3) y es necesario encontrar varias coordenadas del punto Q que se encuentra cerca del punto P. Luego calculamos H y encontramos los valores estimados de la velocidad instantánea.
- Primero, encuentre las coordenadas Q en t = 2, 1.5, 1.1 y 1.01.
  s = 4t - t
  
  t = 2: s = 4 (2) - (2)
  4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, entonces Q = (2,14)
  
  t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
  4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, entonces Q = (1,5,7,5)
  
  t = 1,1: s = 4 (1,1) - (1,1)
  4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, entonces Q = (1.1,3.74)
  
  t = 1.01: s = 4 (1.01) - (1.01)
  4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, entonces Q = (1.01,3.0704)
- Ahora calculemos H:
  Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
  H = (11) / (1) = 11
  
  Q = (1.5,7.5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
  H = (4.5) / (. 5) = 9
  
  Q = (1.1,3.74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
  H = (.74) / (. 1) = 7.3
  
  Q = (1.01,3.0704): H = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
  H = (.0704) / (. 01) = 7.04
- Dado que los valores obtenidos de H tienden a 7, podemos decir que la velocidad instantánea del cuerpo en el punto (1.3) es igual a 7 m / s (valor estimado).

Consejos

Para encontrar la aceleración (el cambio en la velocidad a lo largo del tiempo), use el método de la primera parte para obtener la derivada de la función de desplazamiento. Luego, vuelve a tomar la derivada de la derivada resultante. Esto le dará la ecuación para encontrar la aceleración en un momento dado; todo lo que tiene que hacer es ingresar un valor para el tiempo.
La ecuación que describe la dependencia de y (desplazamiento) de x (tiempo) puede ser muy simple, por ejemplo: y = 6x + 3. En este caso, la pendiente es constante y no es necesario tomar una derivada para encontrarla. Según la teoría de los gráficos lineales, su pendiente es igual al coeficiente de la variable x, es decir, en nuestro ejemplo = 6.
El movimiento es similar a la distancia, pero tiene una dirección específica, lo que lo convierte en un valor vectorial. El desplazamiento puede ser negativo, mientras que la distancia solo puede ser positiva.