Analizar ecuaciones cuadráticas en factores - Consejos

Video: Casos de Factorización. Los 7 métodos más usados.

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En matemáticas, análisis factorial consiste en encontrar números o expresiones con el producto de un número o ecuación determinados. El análisis factorial es una habilidad útil de aprender para resolver problemas algebraicos básicos: la capacidad de factorizar bien es casi fundamental cuando se trata de trabajar. con ecuaciones algebraicas u otras formas polinomiales. El análisis factorial se puede utilizar para reducir expresiones algebraicas, simplificando el problema. Gracias a él, incluso puedes eliminar ciertas posibles respuestas mucho más rápido que resolviendo a mano.

Pasos

Método 1 de 3: analizar números y expresiones algebraicas básicas en factores

Comprender la definición de análisis factorial cuando se aplica a números simples. Aunque conceptualmente simple, en la práctica, la aplicación de ecuaciones complejas puede ser bastante desafiante. Por lo tanto, el enfoque conceptual de análisis factorial más fácil es comenzar con números simples y luego pasar a ecuaciones simples antes de continuar con aplicaciones más avanzadas. Factor para un número dado son números con el producto del mismo número. Por ejemplo, 1, 12, 2, 6, 3 y 4 son factores de 12 porque 1 × 12, 2 × 6 y 3 × 4 son todos iguales a 12.
- En otras palabras, los factores de un número dado son números está dividido por ese número.
- ¿Puedes encontrar el factor completo de 60? El número 60 se usa para muchos propósitos diferentes (minutos en una hora, segundos en un minuto, etc.) porque es divisible por muchos números.
  - El número 60 tiene los siguientes factores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60.
Comprender que las expresiones que contienen variables también se pueden factorizar. Además de los números independientes, también se pueden factorizar variables con coeficientes aritméticos. Para hacer esto, solo necesitamos encontrar los factores del coeficiente de la variable. Saber factorizar el análisis es muy útil en ecuaciones algebraicas transformadoras simples que contienen variables.
- Por ejemplo, 12x se puede reescribir para que sean resultados de 12 y x. Es posible escribir 12x como 3 (4x), 2 (6x), etc., y usar el factor que mejor se adapte al uso previsto de 12.
  - Incluso puede llegar al análisis 12x muchas veces. En otras palabras, no es necesario detenerse en 3 (4x) o 2 (6x); podemos analizar 4x y 6x para obtener 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)) respectivamente. Esta fórmula es equivalente.
Aplicar propiedades asociativas de la multiplicación para factorizar ecuaciones algebraicas. Usando su conocimiento de analizar tanto números independientes como coeficientes en factores, puede simplificar ecuaciones algebraicas simples al encontrar factores comunes de los números y variables incluidos en la ecuación. A menudo, para que la ecuación sea lo más simple posible, intentaremos encontrar el máximo común divisor. Esta simple transformación es posible gracias a la naturaleza asociativa de la multiplicación: para cada número a, byc, tenemos: a (b + c) = ab + ac.
- Consideremos el siguiente problema de ejemplo. Para factorizar la ecuación algebraica 12x + 6 en un factor, primero, encontramos el máximo común divisor de 12x y 6. 6 es el número más grande por el que 12x y 6 son divisibles, por lo que podemos transformar reduce la ecuación a 6 (2x + 1).
- El mismo proceso se aplica a las ecuaciones que tienen fracciones y signos negativos. Por ejemplo, x / 2 + 4 se puede convertir simplemente en 1/2 (x + 8), y -7x + -21 se puede descomponer en -7 (x + 3).
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Método 2 de 3: Análisis de ecuaciones cuadráticas en factores

Asegúrate de que la ecuación esté en forma cuadrática (ax + bx + c = 0). La ecuación cuadrática tiene la forma ax + bx + c = 0, donde a, byc son constantes y a es diferente de cero (tenga en cuenta que a mayo es igual a 1 o -1). Si la ecuación de una variable (x) contiene uno o más términos que contienen el cuadrado de x, a menudo puede usar el álgebra básica para transformar un lado del signo igual en 0 y dejar ax, y así sucesivamente. Por otro lado.
- Por ejemplo, la ecuación algebraica 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 se puede reducir a x + 6x + 9 = 0, que es una forma cuadrática.
- Ecuaciones donde x tiene un exponente más alto, como x, x, etc. no puede ser cuadrático. Son cuadráticas, cuaternarias, ... a menos que la ecuación pueda reducirse eliminando términos que contengan las potencias de 3 o más de x.
Con ecuaciones cuadráticas, cuando a = 1, descomponemos a (x + d) (x + e), donde d × e = c y d + e = b. Si la ecuación cuadrática tiene la forma x + bx + c = 0 (o en otras palabras, si el coeficiente de x = 1), existe la posibilidad (pero no estoy seguro) de que podamos usar un cálculo relativamente rápido. es sencillo factorizar esta ecuación. Encuentra dos números iguales ac y la suma es igual a b. Una vez que haya encontrado dye, reemplácelos con la siguiente expresión: (x + d) (x + e). Cuando se multiplican, estos dos elementos nos dan la ecuación cuadrática anterior; en otras palabras, son factores de la ecuación.
- Tomemos, por ejemplo, la ecuación cuadrática x + 5x + 6 = 0. 3 y 2 tienen un producto de 6 y al mismo tiempo, tienen un total de 5. Por lo tanto, simplemente podemos convertir la ecuación a (x + 3) ( x + 2).
- Esta solución rápida básica será un poco diferente cuando la ecuación en sí sea un poco diferente:
  - Si la ecuación cuadrática está en la forma x-bx + c, su respuesta será de la forma: (x - _) (x - _).
  - Si tiene la forma x + bx + c, tu respuesta será: (x + _) (x + _).
  - Si está en x-bx-c, su respuesta estará en la forma (x + _) (x - _).
- Nota: en los espacios puede haber fracciones o decimales. Por ejemplo, la ecuación x + (21/2) x + 5 = 0 se descompone en (x + 10) (x + 1/2).
Si es posible, realice un análisis factorial mediante pruebas. Lo crea o no, con la ecuación cuadrática sin complicaciones, uno de los métodos aceptados de factorización es simplemente mirar el problema y luego sopesar todas las posibles respuestas hasta encontrar un resultado. respuesta correcta. También se conoce como método de prueba.Si la ecuación tiene la forma ax + bx + cy a> 1, su factorización tendrá la forma (dx +/- _) (ex +/- _), donde dye son constantes el otro no es igual a a. d o e (o ambos) mayo es igual a 1, aunque no necesariamente lo será. Si ambos son iguales a 1, básicamente habría utilizado el trabajo rápido que se muestra arriba.
- Considere el siguiente problema de ejemplo. A primera vista, 3x - 8x + 4 parece bastante intimidante. Sin embargo, una vez que se da cuenta de que 3 tiene solo dos factores (3 y 1), el problema se vuelve más fácil porque sabemos que la respuesta debe ser de la forma (3x +/- _) (x +/- _). En este caso, sustituir -2 en ambos espacios da la respuesta correcta. -2 × 3x = -6x y -2 × x = -2x. -6x y -2x en total igual a -8x. -2 × -2 = 4, por lo tanto, se puede ver que los elementos analizados entre paréntesis nos dan la ecuación inicial.
Resuelve el problema completando el cuadrado. En algunos casos, las ecuaciones cuadráticas se pueden multiplicar rápida y fácilmente usando una identidad algebraica especial. Cualquier ecuación cuadrática de la forma x + 2xh + h = (x + h). Por lo tanto, si en la ecuación b es el doble de la raíz cuadrada de c, la ecuación se puede descomponer en (x + (sqrt (c))).
- La ecuación x + 6x + 9 funcionaría para esta forma, por ejemplo. 3 es igual a 9 y 3 × 2 es igual a 6. Entonces sabemos que la forma de factorización de esta ecuación es (x + 3) (x + 3), o (x + 3).
Resolver ecuaciones cuadráticas con factores. De cualquier manera, una vez que la expresión cuadrática ha sido factorizada, puedes encontrar una posible respuesta al valor de x dando a cada factor cero y resolviéndolo. Dado que está buscando el valor de x tal que la ecuación sea cero, cualquier x que haga que un factor sea cero será una posible solución para esa ecuación.
- Regrese a la ecuación x + 5x + 6 = 0. Esto se descompone en (x + 3) (x + 2) = 0. Cuando un factor es cero, toda la ecuación se convierte en cero. Las posibles soluciones de x son los números que hacen que (x + 3) y (x + 2) sean iguales a 0, -3 y -2, respectivamente.
Comprueba tus respuestas, ¡algunas pueden ser exóticas! Cuando encuentre posibles soluciones de x, reemplácelas con la ecuación original para determinar si son correctas o no. A veces la respuesta la encuentra No hay problema hace que la ecuación original sea cero cuando se reemplaza. Llamamos a estas soluciones Exótico y eliminarlos.
- Reemplacemos -2 y -3 por x + 5x + 6 = 0. Primero, -2:
  - (-2) + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. Sí, entonces -2 es una solución válida de la ecuación.
- Ahora, intentemos con -3:
  - (-3) + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. Esto también es cierto y, por lo tanto, -3 también es una solución válida de la ecuación.
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Método 3 de 3: analiza otros tipos de ecuaciones en factores

Si la ecuación está en la forma a-b, descompóngala en (a + b) (a-b). La ecuación de dos variables se analiza de manera diferente a la ecuación cuadrática fundamental. Cualquier ecuación a-b en la que a y b sean distintos de cero se descompondrá en (a + b) (a-b).
- Por ejemplo, la ecuación 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).
Si la ecuación tiene la forma a + 2ab + b, descompóngala en (a + b). Tenga en cuenta que si el trinomio tiene la forma-2ab + b, la forma de factorización diferirá ligeramente: (a-b).
- Las ecuaciones 4x + 8xy + 4y se pueden reescribir como 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. Ahora vemos que está en la forma correcta y podemos decir con seguridad que la forma de factorización de esta ecuación es (2x + 2y).
Si la ecuación está en la forma a-b, descompóngala en (a-b) (a + ab + b). Finalmente, debe decirse que se pueden factorizar ecuaciones cúbicas e incluso ecuaciones de orden superior. Sin embargo, el proceso de análisis se volverá increíblemente complejo rápidamente.
- Por ejemplo, 8x - 27y se descompone en (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
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Consejo

a-b se puede factorizar y a + b no.
Recuerde cómo factorizar constantes, podría ayudar.
Presta atención a las fracciones en proceso de factorización, manipúlalas de forma correcta y adecuada.
Con el tridente x + bx + (b / 2), su factorización sería (x + (b / 2)) (podrías encontrarte con esta situación al completar el cuadrado).
Recuerde que a0 = 0 (propiedad multiplicada por cero).