Factorizar ecuaciones cuadráticas

Video: Ecuación cuadrática por factorización | Ejemplo 7

Contenido

Al paso
El principio
Método 1 de 6: prueba y error
Método 2 de 6: Descomposición
Método 3 de 6: Triple Play
Método 4 de 6: la diferencia entre dos cuadrados
Método 5 de 6: la fórmula ABC
Método 6 de 6: usar una calculadora
Consejos
Advertencias
Artículos de primera necesidad

Un polinomio contiene una variable (x) a una determinada potencia y varios términos y / o constantes. Para factorizar un polinomio, tendrás que dividir la expresión en expresiones más pequeñas que se multiplican juntas. Esto requiere un cierto nivel de matemáticas y, por lo tanto, puede ser difícil de entender si aún no estás tan lejos.

Al paso

El principio

La ecuacion. El formato estándar para una ecuación cuadrática es:

ax + bx + c = 0
Empiece por ordenar los términos de su ecuación de mayor a menor potencia. Por ejemplo, tome:

6 + 6x + 13x = 0
Vamos a reordenar esta expresión para que sea más fácil trabajar con ella, simplemente moviendo los términos:

6x + 13x + 6 = 0
Encuentra los factores usando uno de los métodos siguientes. Factorizar el polinomio dará como resultado dos expresiones más pequeñas que se pueden multiplicar para obtener el polinomio original:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
En este ejemplo, (2x +3) y (3x + 2) son factores de la expresión original, 6x + 13x + 6.
¡Revisa tu trabajo! Multiplica los factores que encontraste. Combina los mismos términos y listo. Empezar con:

(2x + 3) (3x + 2)
Probemos esto, multiplicando los términos usando EBBL (primero - externo - interno - último), lo que nos da:

6x + 4x + 9x + 6
Ahora sumamos 4x y 9x juntos porque son términos iguales. Sabemos que los factores son correctos porque recuperamos la ecuación con la que comenzamos:

6x + 13x + 6

Método 1 de 6: prueba y error

Si tiene un polinomio bastante simple, es posible que pueda ver cuáles son los factores de inmediato. Por ejemplo, después de un poco de práctica, muchos matemáticos pueden ver la expresión 4x + 4x + 1 tiene los factores (2x + 1) y (2x + 1) simplemente porque lo han visto tantas veces. (Obviamente, esto no será tan fácil con polinomios más complicados). Tomemos una expresión menos estándar para este ejemplo:

3x + 2x - 8

Anote los factores del a término y el C término. Usa el formato ax + bx + c = 0, reconocer la a y C términos y tenga en cuenta los factores que existen. Para 3x + 2x - 8, esto significa:

a = 3 y tiene 1 par de factores: 1 * 3
c = -8 y esto tiene 4 pares de factores: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 y -1 * 8.
Escribe dos pares de paréntesis con un espacio vacío. Aquí ingresa las constantes de cada expresión:

(x) (x)
Llene el espacio antes de las x con un número de posibles factores del a valor. Para el a término en nuestro ejemplo, 3x, solo hay 1 posibilidad:

(3 veces) (1x)
Complete los 2 espacios después de las x con algunos factores para las constantes. Supongamos que elegimos 8 y 1. Ingrese esto:

(3 veces8)(X1)
Determina qué signos (más o menos) deben estar entre las variables x y los números. Dependiendo de los caracteres de la expresión original, es posible averiguar cuáles deberían ser los caracteres de las constantes. Tomemos las dos constantes de los dos factores. h y k mencionar:

Si ax + bx + c entonces (x + h) (x + k)
Si ax - bx - co ax + bx - c entonces (x - h) (x + k)
Si ax - bx + c entonces (x - h) (x - k)
En nuestro ejemplo, 3x + 2x - 8, el signo es: (x - h) (x + k), lo que nos da los siguientes dos factores:

(3x + 8) y (x - 1)
Pon a prueba tu elección con la primera multiplicación exterior-interior-última. Una primera prueba rápida para ver si el término medio es al menos el valor correcto. Si no es así, probablemente tengas el incorrecto. C factores elegidos. Probemos la respuesta:

(3x + 8) (x - 1)
Por multiplicación obtenemos:

3x - 3x + 8x - 8
Simplifique esta expresión agregando los términos semejantes (-3x) y (8x), y obtenemos:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Ahora sabemos que tomamos los factores equivocados:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Cambie sus opciones, si es necesario. En nuestro ejemplo, intentemos 2 y 4, en lugar de 1 y 8:

(3x + 2) (x - 4)
Ahora nuestro C término igual a -8, pero el producto externo / interno de (3x * -4) y (2 * x) es -12x y 2x, que no es el correcto B término o + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Invierta el orden si es necesario. Intentemos voltear 2 y 4:

(3x + 4) (x - 2)
Ahora nuestro C término (4 * 2 = 8) y todavía está bien, pero los productos externos / internos son -6x y 4x. Cuando combinamos estos obtenemos:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Ahora nos estamos acercando bastante a 2x donde queremos estar, pero el signo aún no es correcto.
Verifique sus personajes si es necesario. Mantenemos este orden, pero lo intercambiamos con el signo menos:

(3x - 4) (x + 2)
Ahora el C el término todavía está bien, y los productos externos / internos ahora son (6x) y (-4x). Porque:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Ahora vemos el 2x positivo del problema original. Estos deben ser los factores correctos.

Método 2 de 6: Descomposición

Este método da todos los factores posibles de la misma. a y C términos y los utiliza para averiguar qué factores son correctos. Si los números son muy grandes o si las conjeturas de otros métodos van a llevar demasiado tiempo, utilice esta forma. Un ejemplo:

6x + 13x + 6

Multiplica el a término con el C término. En este ejemplo, a es 6 y C también es 6.

6 * 6 = 36
Encuentra el B término por factorización y pruebas. Buscamos 2 números que sean factores de a * C , y juntos el B término (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Sustituye los dos números que obtienes en tu ecuación como la suma de los B término. Vamos k y h para representar los 2 números que tenemos, 4 y 9:

ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Factoriza el polinomio agrupando. Organiza la ecuación de modo que puedas separar el máximo común divisor de los dos primeros términos y los dos últimos términos. Ambos factores deberían ser iguales. Suma los GGD y colócalos entre corchetes, junto a los factores; como resultado, obtienes los dos factores:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Método 3 de 6: Triple Play

Similar al método de descomposición. El método de "triple play" examina los posibles factores del producto de a y C y utilícelo para averiguar qué B debe ser. Tome la ecuación como ejemplo:

8x + 10x + 2

Multiplica el a término con el C término. Al igual que con el método de descomposición, usamos esto para determinar los candidatos para el B término. En este ejemplo: a es 8 y C es 2.

8 * 2 = 16
Encuentre los 2 números con este número como el producto y con una suma igual a la B término. Este paso es el mismo que el método de descomposición: probamos candidatos para las constantes. El producto de la a y C términos es 16, y el C término es 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Tome estos 2 números y sustitúyalos en la fórmula de "triple play". Tome los 2 números del paso anterior, vamos a conseguirlos h y k llámalos - y ponlos en la expresión:

((ax + h) (ax + k)) / a

Con esto obtenemos:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Vea cuál de los dos términos en el denominador se puede dividir completamente entre a. En este ejemplo, estamos viendo si (8x + 8) o (8x + 2) se pueden dividir entre 8. (8x + 8) es divisible por 8, entonces dividimos este término entre a y dejamos al otro intacto.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
El término que hemos guardado aquí es el que queda después de dividir por el a término: (x + 1)
Tome el máximo común divisor (mcd) de uno o ambos términos, si es posible. En este ejemplo, vemos que el segundo término tiene un mcd de 2, porque 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combine esta respuesta con el término que descubrió en el paso anterior. Estos son los factores de su comparación.

2 (x + 1) (4x + 1)

Método 4 de 6: la diferencia entre dos cuadrados

Puede reconocer algunos coeficientes en un polinomio como "cuadrados", o también como el producto de 2 números idénticos. Si averigua cuáles son los cuadrados, podrá factorizar los polinomios mucho más rápido. Tomamos la ecuación:

27x - 12 = 0

Elimina el mcd de la ecuación, si es posible. En este caso vemos que 27 y 12 son ambos divisibles por 3, por lo que podemos colocarlos por separado:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Determina si los coeficientes de tu ecuación son cuadrados. Para utilizar este método es necesario determinar la raíz de los términos. (Tenga en cuenta que hemos omitido los signos menos; dado que estos números son cuadrados, pueden ser el producto de 2 números negativos)

9x = 3x * 3x y 4 = 2 * 2
Usando la raíz cuadrada que ha determinado, ahora puede escribir los factores. Tomamos el a y C valores del paso anterior: a = 9 y C = 4, entonces las raíces de esto son: - √a = 3 y √C = 2. Estos son los coeficientes de las expresiones factorizadas:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Método 5 de 6: la fórmula ABC

Si nada parece funcionar y no puedes resolver la ecuación, usa la fórmula abc. Tome el siguiente ejemplo:

x + 4x + 1 = 0

Ingrese los valores correspondientes en la fórmula abc:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Ahora obtenemos la expresión:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Solución para x. Ahora debería obtener 2 valores para x. Estos son:

x = -2 + √ (3) o x = -2 - √ (3)
Usa los valores de x para determinar los factores. Ingrese los valores de x obtenidos en las dos ecuaciones como constantes. Estos son tus factores. Si respondemos a las dos h y k escribimos los dos factores de la siguiente manera:

(x - h) (x - k)
En este caso, la respuesta final es:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Método 6 de 6: usar una calculadora

Si está permitido (o es obligatorio) usar una calculadora gráfica, esto hace que la factorización sea mucho más fácil, especialmente para exámenes y exámenes. Las siguientes instrucciones son para una calculadora gráfica de TI. Usamos la ecuación del ejemplo:

y = x - x - 2

Ingresa la ecuación en tu calculadora. Utilizará el solucionador de ecuaciones, también conocido como pantalla [Y =].
Grafica la ecuación con la calculadora. Una vez que haya ingresado la ecuación, presione [GRÁFICO] - ahora debería ver una línea curva, una parábola como una representación gráfica de su ecuación (y es una parábola porque estamos tratando con un polinomio).
Encuentra dónde se cruza la parábola con el eje x. Dado que una ecuación cuadrática se escribe tradicionalmente como ax + bx + c = 0, estos son los dos valores de x que hacen que la ecuación sea igual a cero:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Si no puede ver dónde se cruza la parábola con el eje x, presione [2nd] y luego [TRACE]. Presione [2] o seleccione "cero". Mueva el cursor a la izquierda de una intersección y presione [ENTER]. Mueva el cursor a la derecha de una intersección y presione [ENTER]. Mueva el cursor lo más cerca posible del punto de intersección y presione [ENTER]. La calculadora indicará el valor de x. Haga esto también para la otra intersección.
Ingrese los valores de x que obtuvo en las dos expresiones factorizadas. Si tomamos los dos valores de x h y k como término, la expresión que usamos se ve así:

(x - h) (x - k) = 0
Entonces nuestros dos factores se convierten en:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Consejos

Si ha factorizado el polinomio con la fórmula abc y su respuesta contiene raíces, puede convertir los valores de x en fracciones para verificarlos.
Si un término no tiene coeficiente antes, entonces el coeficiente es igual a 1, por ejemplo, x = 1x.
Si tiene una calculadora TI-84, existe un programa llamado SOLVER que puede resolver una ecuación cuadrática por usted. También resuelve polinomios de mayor grado.
Después de mucha práctica, eventualmente podrás resolver polinomios de memoria. Pero para estar seguro, es mejor escribirlos siempre.
Si no existe un término, el coeficiente es cero. Entonces puede ser útil reescribir la ecuación. P.ej. x + 6 = x + 0x + 6.

Advertencias

Si está aprendiendo este concepto en la clase de matemáticas, preste atención a lo que explica el maestro y no use su propio método favorito. Es posible que se le pida que utilice un método específico para una prueba o que no se permitan las calculadoras gráficas.