Contenido

• Al paso
• Método 1 de 3: usando el método de sustitución
• Método 2 de 3: usando el método de eliminación
• Método 3 de 3: Grafica las ecuaciones
• Consejos
• Advertencias

En un "sistema de ecuaciones" se le pide que resuelva dos o más ecuaciones al mismo tiempo. Cuando estos dos contienen variables diferentes, como xey, o ayb, puede ser difícil a primera vista ver cómo resolverlos. Afortunadamente, una vez que sepa qué hacer, solo necesita algunas habilidades matemáticas básicas (y, a veces, algunos conocimientos de fracciones) para resolver el problema. Si es necesario, o si es un estudiante visual, aprenda también a graficar las ecuaciones. Graficar (trazar) un gráfico puede ser útil para "ver qué está pasando" o para verificar su trabajo, pero también puede ser más lento que los otros métodos y no funciona con todos los sistemas de ecuaciones.

Al paso

Método 1 de 3: usando el método de sustitución

1. Mueve las variables a diferentes lados de la ecuación. Este método de "sustitución" comienza con "resolver x" (o cualquier otra variable) en una de las ecuaciones. Por ejemplo, tenemos las siguientes ecuaciones: 4x + 2y = 8 y 5x + 3x = 9. En primer lugar, miramos la primera comparación. Reorganice restando 2y de cada lado y obtendrá: 4x = 8-2 años.
   • Este método a menudo usa fracciones en una etapa posterior. También puede utilizar el método de eliminación a continuación si prefiere no trabajar con fracciones.
2. Divide ambos lados de la ecuación para encontrar "x". Una vez que tenga el término x (o cualquier variable que use) en un lado de la ecuación, divida ambos lados de la ecuación para aislar la variable. Por ejemplo:
   • 4x = 8-2 años
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2 años / 4)
   • x = 2 - ½ y
3. Vuelva a colocar esto en la otra ecuación. Asegúrate de volver al Otros comparación, no la que ya usaste. En esa ecuación, reemplaza la variable que resolvió, dejando solo una variable. Por ejemplo:
   • Ahora sabes que: x = 2 - ½ y.
   • La segunda ecuación, que aún no ha cambiado, es: 5x + 3x = 9.
   • En la segunda ecuación, reemplace x con "2 - ½y": 5 (2 - ½ y) + 3y = 9.
4. Resuelve para la variable restante. Ahora tiene una ecuación con una sola variable. Usa técnicas de álgebra comunes para resolver esa variable. Si las variables se cancelan entre sí, salte al último paso. De lo contrario, terminará con una respuesta a una de sus variables:
   • 5 (2 - ½ y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Si no comprende este paso, aprenda a sumar fracciones. Esto es a menudo, pero no siempre, necesario con este método).
   • 10 + ½ y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Usa la respuesta para resolver la otra variable. No cometa el error de terminar el problema a la mitad. Tendrá que volver a ingresar la respuesta que obtuvo en una de las ecuaciones originales para que pueda resolver la otra variable:
   • Ahora sabes que: y = -2
   • Una de las ecuaciones originales es: 4x + 2y = 8. (Ambas ecuaciones se pueden utilizar para este paso).
   • Inserte -2 en lugar de y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Sepa qué hacer si ambas variables se anulan entre sí. Cuando usted x = 3y + 2 u obtienes una respuesta similar en la otra ecuación, estás tratando de obtener una ecuación con una sola variable. A veces terminas con una ecuación sin variables. Verifique su trabajo y asegúrese de sustituir la primera ecuación (reordenada) en la segunda ecuación, y no la primera ecuación. Si está seguro de que no ha cometido ningún error, obtendrá uno de los siguientes resultados:
   • Si termina con una ecuación sin variables y que no es verdadera (por ejemplo, 3 = 5), entonces tiene el problema sin solución. (Si ha representado gráficamente las ecuaciones, verá que son paralelas y nunca se cruzan).
   • Si termina con una ecuación sin variables, pero esas bien es cierto (por ejemplo, 3 = 3), entonces tiene el problema un número infinito de soluciones. Las dos ecuaciones son exactamente iguales. (Si grafica las dos ecuaciones, verá que se superponen exactamente).

Método 2 de 3: usando el método de eliminación

1. Determina la variable a eliminar. A veces, las ecuaciones se "eliminarán" entre sí en una variable tan pronto como las sume. Por ejemplo, cuando haces las ecuaciones 3x + 2y = 11 y 5x - 2y = 13 combina, el "+ 2y" y "-2y" se cancelarán entre sí, con todos los "ys se eliminan de la ecuación. Mire las ecuaciones en su problema para averiguar si alguna de las variables se eliminará de esta manera. Si no se elimina ninguna de las variables, continúe leyendo para obtener consejos.
2. Multiplica una ecuación para cancelar una variable. (Omita este paso si las variables ya se han eliminado entre sí). Si ninguna de las variables en las ecuaciones se cancela por sí sola, entonces debe cambiar una de las ecuaciones para que lo haga. Esto es más fácil de entender con un ejemplo:
   • Suponga que tiene el sistema de ecuaciones 3x - y = 3 y -x + 2y = 4.
   • Cambiemos la primera ecuación para que la variable sea y está eliminado. (También puede hacer esto por X hacer y obtener la misma respuesta).
   • La - y " de la primera ecuación debe eliminarse con el + 2 años En la segunda ecuación. Podemos hacer esto por - y multiplicar por 2.
   • Multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por 2, de la siguiente manera: 2 (3x - y) = 2 (3), y por lo tanto 6x - 2y = 6. Ahora - 2 años caer contra el + 2 años en la segunda ecuación.
3. Combina las dos ecuaciones. Para poder combinar dos ecuaciones, sume los lados izquierdo y derecho. Si ha escrito la ecuación correctamente, una de las variables debe anularse frente a la otra. Aquí hay un ejemplo que usa las mismas ecuaciones que el último paso:
   • Tus ecuaciones son: 6x - 2y = 6 y -x + 2y = 4.
   • Combina los lados izquierdos: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Combina los lados derechos: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Resuelve para la última variable. Simplifique la ecuación combinada y luego use álgebra básica para resolver la última variable. Si no quedan variables después de la simplificación, continúe con el último paso de esta sección.. De lo contrario, debe terminar con una respuesta simple a una de sus variables. Por ejemplo:
   • Tu tienes: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Agrupa las variables X y y juntos: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Simplificar: 5 veces = 10
   • Solución para x: (5x) / 5 = 10/5, así que eso x = 2.
5. Resuelve las otras variables. Ha encontrado una variable, pero aún no ha terminado. Sustituye tu respuesta en una de las ecuaciones originales para que puedas resolver la otra variable. Por ejemplo:
   • Tú lo sabes x = 2, y que una de tus ecuaciones originales 3x - y = 3 es.
   • Enchufe 2, en lugar de x: 3 (2) - y = 3.
   • Resuelve y en la ecuación: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, entonces 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. Sepa qué hacer cuando ambas variables se anulan entre sí. A veces, la combinación de dos ecuaciones da como resultado una ecuación que no tiene significado o no te ayuda a resolver el problema. Verifique su trabajo desde el principio, pero si no cometió un error, escriba una de las siguientes respuestas:
   • Si su ecuación combinada no tiene variables y no es verdadera (como 2 = 7), entonces hay sin solución que es válido para ambas ecuaciones. (Si grafica ambas ecuaciones, verá que son paralelas y nunca se cruzan).
   • Si su ecuación combinada no tiene variables y es verdadera (como 0 = 0), entonces hay un número infinito de soluciones. Las dos ecuaciones son en realidad idénticas. (Si los coloca en un gráfico, verá que se superponen completamente entre sí).

Método 3 de 3: Grafica las ecuaciones

1. Utilice este método solo cuando se especifique. A menos que esté usando una computadora o una calculadora gráfica, muchos sistemas de ecuaciones solo se pueden resolver aproximadamente usando este método. Es posible que su maestro o libro de texto de matemáticas le pida que use este método, por lo que probablemente esté familiarizado con ecuaciones gráficas como las líneas. También puede usar este método para verificar si sus respuestas de cualquiera de los otros métodos son correctas.
   • La idea básica es que grafica ambas ecuaciones y determina el punto donde se cruzan. Los valores de xey en este punto dan el valor de xy el valor de y en el sistema de ecuaciones.
2. Resuelve ambas ecuaciones para y. Mantenga las dos ecuaciones separadas y use álgebra para convertir cada ecuación a la forma "y = __x + __". Por ejemplo:
   • La primera ecuación es: 2x + y = 5. Cambie esto a: y = -2x + 5.
   • La segunda ecuación es: -3x + 6y = 0. Cambia esto a 6y = 3x + 0y simplificar a y = ½x + 0.
   • ¿Son ambas ecuaciones idénticas?, entonces toda la línea se convierte en un "punto de intersección". Escribir: infinitas soluciones.
3. Dibuja un sistema de coordenadas. Dibuja un "eje y" vertical y un "eje x" horizontal en una hoja de papel cuadriculado. Comience en el punto donde las líneas se cruzan y etiquete los números 1, 2, 3, 4, etc. hacia arriba en el eje y y nuevamente a la derecha a lo largo del eje x. Etiquete los números -1, -2, etc. a lo largo del eje y hacia abajo y hacia la izquierda a lo largo del eje x.
   • Si no tiene papel cuadriculado, use una regla para asegurarse de que los números estén espaciados uniformemente.
   • Si usa números grandes o lugares decimales, es posible que deba escalar el gráfico. (Por ejemplo, 10, 20, 30 o 0,1, 0,2, 0,3 en lugar de 1, 2, 3).
4. Dibuja la intersección y para cada línea. Una vez que tenga una ecuación en la forma y = __x + __ puede comenzar a graficarlo estableciendo un punto donde la línea intercepta el eje y. Siempre tiene un valor de y, igual al último número de esta ecuación.
   • En los ejemplos mencionados anteriormente, una línea (y = -2x + 5) en el eje y 5. La otra línea (y = ½x + 0) pasa por el punto cero 0. (Estos son los puntos (0.5) y (0.0) en el gráfico).
   • Indique cada una de las líneas con un color diferente, si es posible.
5. Usa la pendiente para seguir dibujando las líneas. En la forma y = __x + __, es el número de x th Pendiente fuera de la línea. Cada vez que x aumenta en uno, el valor de y aumentará con el valor de la pendiente. Usa esta información para encontrar el punto en la gráfica para cada línea cuando x = 1. (Alternativamente, sustituye x = 1 para cada ecuación y resuelve para y).
   • En nuestro ejemplo, la línea tiene y = -2x + 5 una pendiente de -2. En x = 1 la línea 2 desciende abajo desde el punto x = 0. Dibuja el segmento de línea entre (0.5) y (1.3).
   • La regla y = ½x + 0tiene una pendiente de ½. En x = 1, la línea va ½ arriba desde el punto x = 0. Dibuja el segmento de línea entre (0,0) y (1, ½).
   • Cuando las rectas tienen la misma pendiente las líneas nunca se cruzarán, por lo que no hay solución para el sistema de ecuaciones. Escribir: sin solución.
6. Continúe trazando las líneas hasta que se crucen. Deténgase y mire su gráfico. Si las líneas ya se han cruzado, continúe con el siguiente paso. De lo contrario, toma una decisión basada en lo que hacen las líneas:
   • A medida que las líneas se mueven una hacia la otra, sigues dibujando puntos en esa dirección.
   • Si las líneas se alejan una de la otra, regrese y dibuje puntos en la otra dirección, comenzando en x = -1.
   • Si las líneas no están cerca una de la otra, salte hacia adelante y trace puntos más lejanos, como x = 10.
7. Encuentra la respuesta en la intersección de las líneas. Una vez que las dos líneas se cruzan, los valores de xey en ese punto son la solución al problema. Si tiene suerte, la respuesta será un número entero. Por ejemplo, en nuestros ejemplos, las dos líneas se cruzan (2,1) así es tu respuesta x = 2 y y = 1. En algunos sistemas de ecuación, las líneas se intersecarán en un valor entre dos números enteros y, a menos que su gráfica sea extremadamente precisa, será difícil saber dónde está. Si este es el caso, puede dar una respuesta como: "x está entre 1 y 2". También puede utilizar el método de sustitución o el método de eliminación para encontrar la respuesta exacta.

Consejos

• Puede verificar su trabajo ingresando las respuestas nuevamente en las ecuaciones originales. Si las ecuaciones son verdaderas (por ejemplo, 3 = 3), entonces tu respuesta es correcta.
• En el método de eliminación, a veces tienes que multiplicar una ecuación por un número negativo para eliminar una variable.

Advertencias

• Estos métodos no se pueden utilizar si se trata de un número de potencia, como x. Para aprender más sobre ecuaciones de este tipo, necesitará una guía para factorizar al cuadrado con dos variables.