Contenido

• Al paso
• Método 1 de 3: determina el área usando los lados y la apotema
• Método 2 de 3: Determinar el área usando la longitud de un lado
• Método 3 de 3: usar una fórmula
• Consejos

Un pentágono es un polígono con cinco lados rectos. Casi todos los problemas que encontrará en la clase de matemáticas involucrarán pentágonos regulares, con cinco lados iguales. Hay dos formas comunes de calcular el área, según la cantidad de información que tenga.

Al paso

Método 1 de 3: determina el área usando los lados y la apotema

1. Comience con la longitud del costado y la apotema. Este método funciona para pentágonos regulares, con cinco lados iguales. Además de la longitud del lado, necesitas la "apotema" del pentágono. La apotema es la línea desde el centro del pentágono hasta un lado que se cruza con el lado perpendicularmente (es decir, en un ángulo de 90º).
   • No confunda la apotema con el radio de un polígono, porque interseca un ángulo (vértice) en lugar de un punto en el centro del lado. Si solo conoce la longitud de un lado y el radio, continúe con el siguiente método.
   • Usamos un pentágono con side como ejemplo. 3 y apotema 2.
2. Divide el pentágono en cinco triángulos. Dibuja cinco líneas desde el centro del pentágono, cada una de las cuales conduce a un vértice (esquina). Ahora tienes cinco triángulos.
3. Calcula el área de un triángulo. Cada triángulo tiene uno base igual al lado del pentágono. Tambien tiene uno altura que es igual a la apotema. (Recuerde, la altura de un triángulo es la longitud del lado que es perpendicular a la base y corre hacia un vértice). Para calcular el área de un triángulo, use ½ x base x altura.
   • En nuestro ejemplo, el área del triángulo es = ½ x 3 x 2 =3.
4. Multiplica por cinco el área total del pentágono. Hemos dividido el pentágono en cinco triángulos iguales. Para calcular el área total, multiplica el área de un triángulo por cinco.
   • En nuestro ejemplo, A (total del pentágono) = 5 x A (triángulo) = 5 x 3 =15.

Método 2 de 3: Determinar el área usando la longitud de un lado

1. Comience con la longitud de un lado. Este método solo funciona para pentágonos regulares, que tienen cinco lados de igual longitud.
   • En este ejemplo usaremos un pentágono con longitud 7 para cada lado.
2. Divide el pentágono en cinco triángulos. Dibuja una línea desde el centro del pentágono hasta un vértice. Repite esto para cada vértice. Ahora tiene cinco triángulos, cada uno del mismo tamaño.
3. Divide un triángulo por la mitad. Dibuja una línea desde el centro del pentágono hasta la base de un triángulo. Esta línea debe intersecar la base en ángulo recto (90º), lo que divide el triángulo en dos triángulos iguales más pequeños.
4. Etiqueta uno de los triángulos más pequeños. Ya podemos etiquetar un lado y un ángulo del triángulo más pequeño:
   • La base del triángulo es ½ veces el lado del pentágono. En nuestro ejemplo, esto es ½ x 7 = 3,5 unidades.
   • La ángulo en el centro del pentágono es siempre 36º. (Suponiendo 360º para un círculo completo, puedes dividirlo en 10 triángulos más pequeños. 360 ÷ 10 = 36, por lo que el ángulo de dicho triángulo es 36º).
5. Calcula la altura del triángulo. La altura el lado de este triángulo es perpendicular al lado del pentágono que conduce al centro. Usamos trigonometría simple para determinar la longitud de este lado:
   • En un triángulo rectángulo, el tangente de un ángulo igual a la longitud del lado opuesto dividido por la longitud del lado adyacente.
   • El lado opuesto al ángulo de 36º es la base del triángulo (la mitad del lado del pentágono). El lado adyacente del ángulo de 36º es la altura del triángulo.
   • tan (36º) = opuesto / adyacente
   • En nuestro ejemplo, tan (36º) = 3,5 / altura
   • altura x bronceado (36º) = 3,5
   • altura = 3,5 / bronceado (36º)
   • altura = (aproximadamente) 4,8 .
6. Calcula el área del triángulo. El área de un triángulo es igual a ½ base x su altura. (A = ½bh.) Ahora que conoce la altura, ingrese estos valores para determinar la altura de su pequeño triángulo.
   • En nuestro ejemplo, el área de uno de los triángulos pequeños = ½bh = ½ (3.5) (4.8) = 8.4.
7. Multiplica para encontrar el área del pentágono. Uno de estos triángulos más pequeños cubre 1/10 del área del pentágono. Para el área total, multiplique el área del triángulo más pequeño por 10.
   • En nuestro ejemplo, el área de todo el pentágono es = 8.4 x 10 =84.

Método 3 de 3: usar una fórmula

1. Usa el esquema y la apotema. La apotema es una línea desde el centro de un pentágono que cruza un lado en ángulo recto. Si se da la longitud, entonces puede usar esta fórmula simple.
   • Área de un pentágono regular =padre / 2, donde pag= la circunferencia y a= la apotema.
   • Si no conoce la circunferencia, calcúlela usando la longitud del lado: p = 5s, donde s es la longitud del lado.
2. Usa la longitud del lado. Si solo conoce la longitud de los lados, use la siguiente fórmula:
   • Área de un pentágono regular = (5s ) / (4tan (36º)), donde s= longitud de un lado.
   • bronceado (36º) = √ (5-2√5). Si su calculadora no tiene una función de bronceado, use la fórmula para el área: Área = (5s) / (4√(5-2√5)).
3. Elija una fórmula que use solo el radio. Incluso puedes encontrar el área si solo conoces el radio. Utilice la siguiente fórmula:
   • El área de un pentágono regular = (5/2)rpecado (72º), donde r el radio es.

Consejos

• Los pentágonos irregulares o los pentágonos con lados desiguales son más difíciles de estudiar. El mejor enfoque suele ser dividir el pentágono en triángulos y sumar las áreas de todos los triángulos. También es posible que deba dibujar una forma más grande alrededor del pentágono, calcular su área y luego restar el área del espacio adicional.
• Si es posible, use un método geométrico y una fórmula y compare los resultados para verificar su respuesta. Las respuestas pueden ser ligeramente diferentes si completa la fórmula completamente de una vez (porque faltan los pasos en los que termina), pero deben estar muy cerca unos de otros.
• Los ejemplos que se dan aquí utilizan valores redondeados para facilitar las matemáticas. Si tiene un polígono verdadero con las longitudes de los lados dadas, obtendrá resultados ligeramente diferentes para las otras longitudes y el área.
• Las fórmulas se derivan de métodos geométricos, similares a los descritos aquí. Intente descubrir cómo deducirlos usted mismo. La fórmula del radio es más difícil de derivar que las otras (pista: necesita la identidad de doble ángulo).