Cómo encontrar las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola

Contenido

Pasos
Método 1 de 2: Factorización
Método 2 de 2: Calcular Y
Consejos
Advertencias

Las asíntotas de hipérbola son líneas rectas que pasan por el centro de la hipérbola. La hipérbola se acerca a las asíntotas, pero nunca las cruza (ni siquiera las toca). Hay dos formas de encontrar las ecuaciones de las asíntotas que le ayudarán a comprender el concepto mismo de asíntotas.

Pasos

Método 1 de 2: Factorización

1 Escribe la ecuación de hipérbole canónica. Consideremos el ejemplo más simple: una hipérbola, cuyo centro se encuentra en el origen. En este caso, la ecuación de hipérbola canónica tiene la forma: /_a - /_B = 1 (cuando las ramas de la hipérbola se dirigen hacia la derecha o hacia la izquierda) o /_B - /_a = 1 (cuando las ramas de la hipérbola se dirigen hacia arriba o hacia abajo). Tenga en cuenta que en esta ecuación, "x" e "y" son variables, y "a" y "b" son constantes (es decir, números).
- Ejemplo 1:/₉ - /₁₆ = 1
- Algunos profesores y autores de libros de texto intercambian la constante "a" y "b". Por lo tanto, estudie la ecuación que se le dio para comprender qué es qué. No se limite a memorizar la ecuación; en este caso, no comprenderá nada si las variables y / o constantes se indican con otros símbolos.
2 Establezca la ecuación canónica en cero (no uno). La nueva ecuación describe ambas asíntotas, pero se necesita algo de esfuerzo para obtener la ecuación para cada asíntota.
- Ejemplo 1:/₉ - /₁₆ = 0
3 Factoriza la nueva ecuación. Factoriza el lado izquierdo de la ecuación. Recuerda cómo factorizar una ecuación cuadrática y sigue leyendo.
- La ecuación final (es decir, la ecuación factorizada) será (__ ± __) (__ ± __) = 0.
- Al multiplicar los primeros términos (dentro de cada par de paréntesis), debe obtener el término /₉, extraiga la raíz cuadrada de este miembro y escriba el resultado en lugar del primer espacio dentro de cada par de paréntesis: (/₃ ± __)(/₃ ± __) = 0
- Del mismo modo, extrae la raíz cuadrada del término /₁₆y escriba el resultado en lugar del segundo espacio dentro de cada par de paréntesis: (/₃ ± /₄)(/₃ ± /₄) = 0
- Ha encontrado todos los términos de la ecuación, por lo que dentro de un par de paréntesis entre los términos escriba un signo más, y dentro del segundo, un signo menos, de modo que al multiplicar, los términos correspondientes se cancelen: (/₃ + /₄)(/₃ - /₄) = 0
4 Establezca cada binomio (es decir, la expresión dentro de cada par de paréntesis) en cero y calcule "y". Esto encontrará dos ecuaciones que describen cada asíntota.
- Ejemplo 1: Como (/₃ + /₄)(/₃ - /₄) = 0, entonces /₃ + /₄ = 0 y /₃ - /₄ = 0
- Reescribe la ecuación de la siguiente manera: /₃ + /₄ = 0 → /₄ = - /₃ → y = - /₃
- Reescribe la ecuación de la siguiente manera: /₃ - /₄ = 0 → - /₄ = - /₃ → y = /₃
5 Realizar las acciones descritas con una hipérbola cuya ecuación difiera de la canónica. En el paso anterior, encontró las ecuaciones para las asíntotas de la hipérbola centradas en el origen. Si el centro de la hipérbola está en un punto con coordenadas (h, k), entonces se describe mediante la siguiente ecuación: /_a - /_B = 1 o /_B - /_a = 1. Esta ecuación también se puede factorizar. Pero en este caso, no toque los binomios (x - h) e (y - k) hasta llegar al último paso.
- Ejemplo 2: /₄ - /₂₅ = 1
- Establezca esta ecuación en 0 y factorícela:
- (/₂ + /₅)(/₂ - /₅) = 0
- Iguale cada binomio (es decir, la expresión dentro de cada par de paréntesis) a cero y calcule "y" para encontrar las ecuaciones de las asíntotas:
- /₂ + /₅ = 0 → y = - /₂x + /₂
- (/₂ - /₅) = 0 → y = /₂X - /₂

Método 2 de 2: Calcular Y

1 Aísle el término y en el lado izquierdo de la ecuación de la hipérbola. Utilice este método cuando la ecuación de hipérbola esté en forma cuadrática. Incluso si se da una ecuación de hipérbola canónica, este método permitirá una mejor comprensión del concepto de asíntotas. Aísle yo (y - k) en el lado izquierdo de la ecuación.
- Ejemplo 3:/₁₆ - /₄ = 1
- Suma x a ambos lados de la ecuación y luego multiplica ambos lados por 16:
- (y + 2) = 16 (1 + /₄)
- Simplifica la ecuación resultante:
- (y + 2) = 16 + 4 (x + 3)
2 Saca la raíz cuadrada de cada lado de la ecuación. Sin embargo, no simplifique demasiado el lado derecho de la ecuación, ya que cuando extrae la raíz cuadrada, obtiene dos resultados: positivo y negativo (por ejemplo, -2 * -2 = 4, entonces √4 = 2 y √4 = -2). Para enumerar ambos resultados, use el símbolo ±.
- √ ((y + 2)) = √ (16 + 4 (x + 3))
- (y + 2) = ± √ (16 + 4 (x + 3))
3 Comprender el concepto de asíntotas. Haga esto antes de pasar al siguiente paso. Una asíntota es una línea recta a la que se acerca la hipérbola con valores crecientes de "x".La hipérbola nunca cruzará la asíntota, pero al aumentar "x", la hipérbola se acercará a la asíntota a una distancia infinitamente pequeña.
4 Transforme la ecuación para tener en cuenta los valores de x grandes. Como regla general, cuando se trabaja con las ecuaciones de asíntotas, solo se tienen en cuenta los valores grandes de "x" (es decir, aquellos valores que tienden al infinito). Por lo tanto, ciertas constantes pueden despreciarse en la ecuación, ya que su contribución es pequeña en comparación con "x". Por ejemplo, si la variable "x" es igual a varios miles de millones, entonces sumar el número (constante) 3 tendrá un efecto insignificante en el valor de "x".
- En la ecuación (y + 2) = ± √ (16 + 4 (x + 3)) como “x” tiende a infinito, la constante 16 puede despreciarse.
- Para valores grandes de "x" (y + 2) ≈ ± √ (4 (x + 3))
5 Calcula y para encontrar las ecuaciones de las asíntotas. Al deshacerse de las constantes, puede simplificar la expresión radical. Recuerde que debe escribir dos ecuaciones en su respuesta: una con un signo más y la otra con un signo menos.
- y + 2 = ± √ (4 (x + 3) ^ 2)
- y + 2 = ± 2 (x + 3)
- y + 2 = 2x + 6 y y + 2 = -2x - 6
- y = 2x + 4yy = -2x - 8

Consejos

Recuerde que la ecuación de la hipérbola y las ecuaciones de sus asíntotas siempre incluyen constantes (constantes).
Una hipérbola equilátera es una hipérbola en la ecuación de la cual a = b = c (constante).
Si se le da una ecuación de hipérbola equilátera, primero conviértala a la forma canónica y luego encuentre las ecuaciones para las asíntotas.