Calcular raíces cúbicas a mano

Contenido

Al paso
Parte 1 de 3: Elaboración de una tarea de ejemplo
Parte 2 de 3: Encontrar la raíz cúbica mediante estimaciones repetidas
Consejos
Advertencias
Artículos de primera necesidad

Usando una calculadora, calcular la raíz cúbica de cualquier número no es más que presionar algunas teclas. Pero tal vez no tenga una calculadora o quiera impresionar a sus amigos con su capacidad para calcular una raíz cúbica a mano alzada. Hay un método que parece un poco difícil a primera vista, pero funciona de manera muy simple con un poco de práctica. Es útil tener algunos conocimientos en el campo de las habilidades aritméticas y el cálculo de números cúbicos.

Al paso

Parte 1 de 3: Elaboración de una tarea de ejemplo

Elabora el problema. Resolver la raíz cúbica de un número parecerá resolver una división larga, con algunas diferencias aquí y allá. El primer paso es escribir la declaración correctamente.
- Anote el número para el que desea determinar la raíz cúbica. Escribe los números en grupos de tres, con la coma como punto de partida. En este ejemplo, determinará la raíz cúbica de 10. Escriba esto como 10,000000. Los ceros son necesarios para la precisión de la respuesta.
- Dibuja una raíz cuadrada cúbica sobre el número. Esto tiene el mismo propósito que la línea en división larga. La única diferencia es la forma del símbolo.
- Coloque una coma encima de la línea, directamente encima de la coma en el número original.
Conoce los cubos de las unidades. Los usará en sus cálculos. Se refiere a los siguientes terceros poderes:
- 13=1∗1∗1=1{ Displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}Determina el primer dígito de tu respuesta. Seleccione un número que, al cubo, dé el mayor resultado posible que sea menor que el primer conjunto de tres números.
  - En este ejemplo, el primer conjunto de tres números multiplicados juntos es igual a 10. Encuentra el cubo más grande que sea menor que 10. Eso es 8, y su raíz cúbica es 2.
  - Escribe el número 2 encima de la raíz cuadrada, encima del número 10. Escribe el valor de 23{ Displaystyle 2 ^ {3}}Realice la configuración para el siguiente dígito. Escribe el siguiente grupo de tres números en el resto y dibuja una línea vertical corta a la izquierda del número resultante. Este será el número que usaremos para determinar el siguiente dígito en la solución de su raíz cúbica. En este ejemplo, esto se convierte en 2000, que se crea a partir del resto 2 de la suma de la resta anterior, con el grupo de tres ceros que eliminó.
    - A la izquierda de la línea vertical, escribe la solución del siguiente divisor, como la suma de tres números separados. Indique los espacios vacíos para estos números, subrayando tres espacios en blanco con signos más debajo.
  - Encuentra el comienzo del siguiente divisor. Para la primera parte del divisor, escribe trescientas veces el cuadrado de lo que esté por encima del signo de la raíz cuadrada. En este caso es 2; 2 ^ 2 es 4 y 4 * 300 = 1200. Así que escribe tu 1200 en el primer espacio en blanco. El divisor para este paso de la solución se convierte en 1200, más algo más que calculará en un momento.
  - Encuentra el siguiente número en tu raíz cúbica. Encuentra el siguiente dígito de tu solución seleccionando lo que puedes multiplicar por el divisor (1200 y algo más), y luego restarlo del resto de 2000. Esto solo puede ser 1, porque 2 por 1200 es igual a 2400, que es mayor que 2000. Escribe el número 1 en el siguiente espacio encima del signo de la raíz cuadrada.
  - Encuentra el resto del divisor. El divisor en este paso de la solución consta de tres partes. La primera parte es la 1200 que ya tienes. Ahora necesitará agregar dos términos más para completar el divisor.
    - Ahora calcule 3 veces 10 veces cada uno de los dos dígitos de su solución sobre el signo de la raíz cuadrada. Para este ejercicio simple, eso significa 3 * 10 * 2 * 1, que es igual a 60. Agregue esto a los 1200 que ya tenía y obtendrá 1260.
    - Finalmente, suma el cuadrado del último dígito. En este ejemplo es 1; y 1 ^ 2 sigue siendo 1. Entonces, el divisor total es 1200 + 60 + 1, o 1261. Escribe esto a la izquierda de la línea vertical.
  - Multiplica y resta. Redondea esta parte de la solución multiplicando el último dígito de tu solución, en este caso, el número 1, por el divisor que acabas de calcular (1261). 1 * 1261 = 1261. Escriba esto debajo de 2000 y reste 1261 para obtener 739.
  - Decide ir más allá para obtener una respuesta más precisa. Después de completar la resta de cada paso, debe verificar si su respuesta es lo suficientemente exacta. Para la raíz cúbica de 10, después de la primera suma menos, la raíz cúbica era solo 2, lo que no es realmente exacto. Ahora, después de la segunda ronda, la solución es 2.1.
    - Puede verificar la precisión de este resultado usando el cubo: 2.1 * 2.1 * 2.1. El resultado es 9.261.
    - Si cree que el resultado es lo suficientemente exacto, puede detenerse. Si quieres una respuesta más precisa, tienes que pasar por otra ronda.
  - Determina el divisor de la siguiente ronda. En este caso, para más práctica y una respuesta más precisa, repita los pasos para otra ronda, de la siguiente manera:
    - Baje el siguiente grupo de tres números. En este caso, estos son tres ceros, que vienen después del resto 739 para formar 739.000.
    - Comience el divisor con 300 veces el cuadrado del número que se encuentra actualmente sobre el signo de la raíz cuadrada. Esto es 300∗212{ Displaystyle 300 * 21 ^ {2}}Multiplica el divisor por el resultado. Después de calcular el divisor en esta próxima ronda y expandir su solución con un dígito más, proceda de la siguiente manera:
      - Multiplica el divisor por el último dígito de tu solución. 135,475 * 5 = 677,375.
      - Sustraer. 739.000-677.375 = 61.625.
      - Considere si la solución 2.15 es lo suficientemente exacta. Calcula el cubo y obtendrás ${ Displaystyle 2,15 * 2,15 * 2,15 = 9,94}$ Escriba su respuesta final. El resultado por encima de la raíz cuadrada es la raíz cúbica, con una precisión de tres dígitos significativos. En este ejemplo, la raíz cúbica de 10 es igual a 2,15. Verifique esto calculando 2.15 ^ 3 = 9.94 que se puede redondear a 10. Si necesita una respuesta más precisa, continúe haciéndolo hasta que esté satisfecho.

Parte 2 de 3: Encontrar la raíz cúbica mediante estimaciones repetidas

Utilice números cúbicos para establecer los límites superior e inferior. Cuando se le pregunte por la raíz cúbica de un número dado, comience por elegir un cubo que esté lo más cerca posible de él, sin ser mayor que su número objetivo.
- Por ejemplo, si desea hallar la raíz cúbica de 600, recuerde (o use un cubo) que 83=512{ Displaystyle 8 ^ {3} = 512}Estima el siguiente dígito. Elimina el primer dígito a través de su conocimiento de ciertos números cúbicos. Para el siguiente dígito, calcule un número entre 0 y 9 en función de dónde se encuentra su número objetivo entre los dos números límite.
  - En el problema de ejemplo, 600 (su número objetivo) cae aproximadamente a la mitad entre los números límite 512 y 729. Por lo tanto, elige 5 como su próximo número.
- Pon a prueba tu estimación determinando su cubo. Intente multiplicar la estimación con la que está trabajando actualmente para averiguar qué tan cerca está del número objetivo.
  - En este ejemplo, estás multiplicando 8,5∗8,5∗8,5=614,1.{ Displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}Ajuste su presupuesto según sea necesario. Después de subir al cubo de su última suposición, verifique el resultado con su número objetivo. Si el resultado es mayor que el objetivo, su estimación debería ser menor. Si el resultado es menor que el objetivo, debes ajustarlo hacia arriba hasta alcanzar el objetivo.
    - Por ejemplo, en esta declaración 8,53{ displaystyle 8.5 ^ {3}}Estima el siguiente dígito para obtener una respuesta más precisa. Continúe con este procedimiento de estimar números del 0 al 9 hasta que su respuesta sea tan precisa como desee. Antes de cada ronda de estimación, comienza verificando la posición de su último cálculo entre los números de los límites.
      - En este ejercicio de ejemplo, su última ronda de cálculos muestra que ${ displaystyle 8.4 ^ {3} = 592.7}$ Continúe estimando y ajustando. Haga esto tantas veces como sea necesario, aumente su estimación a la potencia cúbica y vea cómo se compara con el número objetivo. Busque números que estén justo debajo o justo encima del número objetivo.
        Para este ejercicio de ejemplo, comenzará notando que ${ Displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$ Continúe hasta alcanzar la precisión deseada. Continúe estimando, comparando y volviendo a estimar durante el tiempo que sea necesario hasta que su solución sea tan precisa como desee. Tenga en cuenta que con cada decimal, sus números objetivo se acercan cada vez más al número real.
        Para el ejemplo de la raíz cúbica de 600, asumiendo dos números decimales, estás a menos de 1 del número objetivo por 8.43. Si continúa con tres decimales, verá que ${ displaystyle 8.434 ^ {3} = 599.93}$ Repase el binomio de Newton. Para comprender por qué este algoritmo funciona para determinar raíces cúbicas, primero debe pensar en cómo se ve el cubo como binomio. Probablemente aprendiste esto en matemáticas en la escuela secundaria (y como la mayoría de las personas, probablemente te olvidaste rápidamente de esto). Seleccione dos variables ${ Displaystyle A}$ Escribe el binomio en forma cúbica. Ahora estamos trabajando al revés determinando primero el cubo y luego viendo por qué funciona la solución de raíz cúbica. Necesitamos los valores de ${ Displaystyle (10A + B) ^ {3}}$ Conoce el significado de la división larga. Tenga en cuenta que el método de la raíz cúbica funciona como una división larga. En una división larga, verá que dos factores multiplicados juntos dan el número con el que comenzó. En este cálculo, el número que está buscando (el número que finalmente aparece sobre la raíz cuadrada) es la raíz cúbica. Eso significa que es igual al término (10A + B). La A y la B reales ahora son irrelevantes, siempre que comprenda la relación con la respuesta.
        Ver la versión extendida. Cuando observa el binomio de Newton, puede ver por qué el algoritmo de raíz cúbica es correcto. Vea cómo el divisor en cada paso del algoritmo es igual a la suma de los cuatro términos que necesita calcular y sumar. Estos términos surgen de la siguiente manera:
        El primer término contiene un múltiplo de 1000. Primero elige un número que podría elevarse al cubo y aún permanecer dentro del rango de la división larga como el primer número. Esto da el término 1000A ^ 3 en el binomio.
        El segundo término del binomio de Newton tiene 300 como coeficiente. (Esto viene de ${ Displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ Observe cómo aumenta la precisión. Al trabajar en una división larga, cada paso que complete le dará una gran precisión a su respuesta. Por ejemplo, el problema de ejemplo que se trabajó en este artículo es para determinar la raíz cúbica de 10. En el primer paso, la solución es 2, porque ${ Displaystyle 2 ^ {3}}$ se acerca, pero es menos de 10. De hecho, se mantiene ${ Displaystyle 2 ^ {3} = 8}$ . Después de la segunda ronda, su solución es 2.1. Una vez que haya resuelto esto, obtendrá ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9.261}$ , que está mucho más cerca del resultado deseado (10). Después de la tercera ronda, tienes 2.15, lo que te da ${ displaystyle 2,15 ^ {3} = 9,94}$ . Siga trabajando en grupos de tres números y obtendrá una respuesta tan precisa como desee.