Contenido

• Pasos
• Consejo
• Advertencia

La inversión se utiliza a menudo en cálculo para simplificar problemas problemáticos de otras formas. Por ejemplo, es más fácil multiplicar con el inverso de una fracción que dividirlo directamente por ese número. Esta es la inversa. Asimismo, dado que no hay signos de fracción para la matriz, deberá multiplicar su matriz inversa. Calcular la matriz inversa de una matriz de 3x3 puede ser muy tedioso, pero es un problema que vale la pena considerar. También puede utilizar una calculadora gráfica avanzada para hacer esto.

Pasos

Método 1 de 3: crea una matriz adicional para encontrar la matriz inversa

1. 

   Verifique el determinante de la matriz. El primer paso: encontrar el determinante de la matriz. Si el determinante es 0, se hace: esta matriz no es reversible. El determinante de una matriz M se puede denotar det (M).
   • Para encontrar la inversa de una matriz de 3x3, primero debe calcular su determinante.
   • Para revisar cómo encontrar el determinante de una matriz, consulte el artículo Encontrar determinante de matriz 3x3.

2. 

   
   
   Transposición de la matriz original. La transposición significa reflejar la matriz a través de la diagonal principal, o en otras palabras, intercambiar el elemento (i, j) y el elemento (j, i). Cuando se transponen elementos de una matriz, la diagonal principal (que va desde la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha) permanece constante.
   • Otra forma de entender la transposición es reescribir la matriz para que la primera fila se convierta en la primera columna, la fila del medio se convierta en la columna del medio y la tercera fila se convierta en la tercera columna. Observe los elementos de color en la ilustración anterior y observe la nueva posición de los números.

3. 

   
   
   Encuentre el determinante de cada submatriz de 2x2. Todos los elementos de la nueva matriz de desplazamiento de 3x3 están vinculados a una 'sub' matriz de 2x2 correspondiente. Para encontrar la submatriz de cada elemento, primero resalte la fila y la columna del primer elemento. Se resaltarán los 5 elementos. Los cuatro elementos restantes forman la submatriz.
   • En el ejemplo anterior, si desea encontrar una submatriz del elemento en la fila dos, columna uno, resalte cinco partes de palabras en la segunda fila y la primera columna. Los cuatro elementos restantes son la submatriz correspondiente.
   • Encuentre el determinante de cada submatriz multiplicando diagonalmente y restando dos productos entre sí, como se muestra en la figura anterior.
   • Lea más para obtener más información sobre las submatrices y sus usos.

4. 

   
   
   Haz una matriz de subsecciones algebraicas. Coloque el resultado obtenido del paso anterior en una nueva matriz compuesta de subsecciones algebraicas colocando cada determinante de submatriz en la posición correspondiente en la matriz original. Así, el determinante calculado a partir del elemento (1,1) de la matriz original se colocará en la posición (1,1). A continuación, tendrá que cambiar el signo de reemplazo de esta nueva matriz de acuerdo con la tabla de referencia que se muestra en la ilustración anterior.
   • Al determinar el signo, se mantiene la marca de la primera molécula del líder. El signo del segundo elemento está invertido. Se conserva el signo del tercer elemento. Continúe así por el resto de la matriz. Tenga en cuenta que el signo (+) o (-) en la tabla de referencia no indica que hasta el final, el elemento llevará signos positivos o negativos. Solo muestran que los elementos se mantendrán intactos (+) o se cambiarán con (-).
   • Consulte los conceptos básicos de la matriz para obtener más información sobre los apéndices algebraicos.
   • El resultado final que obtenemos en este paso es la matriz complementaria de la matriz original. A veces también se le llama matriz conjugada y se denota Adj (M).

5. 

   Divida todos los elementos de la matriz del complemento por el determinante. Utilice el determinante de la matriz M que calculó en el primer paso (para verificar si la matriz es reversible). Ahora divida cada elemento de la matriz por este valor. Ponga el cociente de cada división en la posición del elemento original y obtenemos la matriz inversa de la matriz original.
   • La matriz muestral presentada en la ilustración tiene determinante de 1. Por lo tanto, cuando dividimos todos los elementos de la matriz complementaria por el determinante, obtenemos la misma (no siempre tendrás tanta suerte). .
   • En lugar de dividir, alguna documentación demuestra que este paso multiplica cada elemento de M por 1 / det (M). Matemáticamente, son equivalentes.
   anuncio

Método 2 de 3: Disminuye la fila lineal para encontrar la matriz inversa

1. 

   Agregue la matriz unitaria a la matriz original. Escriba la matriz base M, dibuje una línea vertical a la derecha de esa matriz y luego escriba la matriz unitaria a la derecha de esta línea. En este punto, tenemos una matriz con tres filas y seis columnas.
   • Recuerde que la matriz de identidad es una matriz especial con todos los elementos en la diagonal principal, que van desde la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha, igual a 1 y todos los elementos en las posiciones de reposo iguales a cero.

2. 

   Realice una reducción lineal de filas. El objetivo aquí es crear la matriz unitaria en la parte izquierda de la matriz recién expandida. Al realizar los pasos de reducción de filas a la izquierda, debe hacer la parte correspondiente a la derecha, la parte que es su matriz de unidades.
   • Recuerde que la reducción de filas se realiza como una combinación de multiplicación escalar y suma o resta de filas, para aislar elementos individuales de la matriz.

3. 

   Continúe hasta que se forme la matriz unitaria. Continúe la reducción lineal hasta que aparezca la matriz identidad (los elementos de la diagonal son iguales a 1, los demás elementos son iguales a 0) en la parte izquierda de la matriz expandida. Una vez que se alcanza este paso, la parte derecha del divisor vertical es la matriz inversa de la matriz original.

4. 

   Reescribe la matriz inversa. Duplique los elementos actualmente en la parte derecha del divisor vertical y esa es su matriz inversa. anuncio

Método 3 de 3: encuentra la matriz inversa con la calculadora de bolsillo

1. 

   Elija una calculadora que pueda resolver matrices. Una calculadora simple de cuatro funciones no podrá encontrar la matriz inversa directamente por usted. Sin embargo, debido a la repetición matemática, una calculadora gráfica avanzada, como la TI-83 o la TI-86 de Texas Instruments, puede reducir enormemente su trabajo.

2. 

   Ingrese la matriz en la calculadora. Primero, ingrese la función Matrix de su calculadora presionando la tecla Matrix, si está disponible en su dispositivo. Con la máquina de Texas Instruments, tendrá que presionar 2 Matrix.

3. 

   Seleccione el submenú Editar. Para acceder a este submenú, es posible que deba usar los botones de flecha o seleccionar las teclas de función apropiadas ubicadas en la fila superior del teclado de la computadora, según su diseño.

4. 

   Elija un nombre para su matriz. La mayoría de las calculadoras de bolsillo están equipadas para trabajar con 3 a 10 matrices, letras con nombre, de la A a la J. Normalmente, comencemos con. Presione la tecla Enter para confirmar la selección del nombre.

5. 

   Ingrese el tamaño de la matriz. Este artículo se centra en matrices de 3x3. Sin embargo, las calculadoras de bolsillo pueden manejar matrices más grandes. Ingrese el número de filas, presione Enter, luego ingrese el número de columna y presione Enter.

6. 

   Ingrese cada elemento de la matriz. Se mostrará una matriz en la pantalla de la computadora. Si ha trabajado con la función de matriz antes, la matriz con la que trabajó antes aparecerá en la pantalla. El cursor marcará el primer elemento de la matriz. Ingrese el valor de la matriz que desea resolver y presione Enter. El cursor se moverá automáticamente al siguiente elemento, sobrescribiendo los valores anteriores.
   • Si desea ingresar números negativos, use el botón negativo (-) de su calculadora, no la tecla menos. La función de matriz no leerá correctamente.
   • Si es necesario, puede utilizar las teclas de flecha de su calculadora para moverse por la matriz.

7. 

   Salga de la función de matriz. Después de haber ingresado todo el valor de la matriz, presione la tecla Salir - Salir (o 2 Salir, si es necesario). Gracias a eso, sale de la función Matrix y regresa a la pantalla principal de la calculadora.

8. 

   Usa la tecla inversa para encontrar la matriz inversa. Primero, vuelva a abrir la función Matrix y use el botón Nombres para seleccionar el nombre de la matriz que usó para darle a su matriz (podría ser). A continuación, presione la tecla inversa de la calculadora. Según el dispositivo, es posible que deba utilizar el botón 2. Aparece la pantalla de visualización. Presione Enter y la matriz inversa aparecerá en su pantalla.
   • No use el botón ^ en su computadora cuando intente ingresar A ^ -1 con clics individuales. Las computadoras no entenderán esta matemática.
   • Si recibe un mensaje de error cuando presiona la tecla inversa, es más probable que su matriz principal no sea reversible. Tal vez debería volver atrás y ser cualitativo para determinar si esa es la causa del error.

9. 

   Convierta la matriz inversa en la respuesta correcta. El primer resultado devuelto por la computadora se muestra en decimal. Esa no es necesariamente la respuesta "correcta" para la mayoría de los propósitos. Debería convertir esta respuesta decimal en una fracción si es necesario (si tiene la suerte, todos sus resultados son números enteros. Sin embargo, es muy raro).
   • Tal vez tu calculadora tenga una función que convierta automáticamente decimales en fracciones. Por ejemplo, al usar la TI-86, puede ir a la función Matemática, seleccionar Misc, luego Frac y presionar Enter. Los decimales se representarán automáticamente como fracciones.
10. La mayoría de las calculadoras gráficas tienen corchetes (para TI-84, eso es 2nd + xy 2nd + -) que le permiten ingresar una matriz sin usar una función de matriz. Nota: Es posible que una calculadora no formatee una matriz hasta que se use la tecla enter / equal (lo que significa que todo estará en la misma fila y no será muy agradable). anuncio

Consejo

• Puede seguir estos pasos para encontrar la inversa de una matriz que no solo contiene números, sino también variables, incógnitas o incluso expresiones algebraicas.
• Escriba todos los pasos porque encontrar la inversa de una matriz de 3x3 con solo hacer cálculos es extremadamente difícil.
• Hay programas de calculadora que le ayudan a encontrar matrices inversas, hasta e incluyendo matrices de 30x30.
• Independientemente del método utilizado, verifique la precisión del resultado multiplicando M por M. Confirmará que M * M = M * M = I. Donde, I es la matriz unitaria , se compone de 1 elementos ubicados a lo largo de la diagonal principal y ceros en el resto. Si no obtiene tales resultados, debe haberse equivocado en alguna parte.

Advertencia

• No todas las matrices de 3x3 tienen matrices inversas. Si el determinante es 0, esa matriz no es reversible (observe que en la fórmula, dividimos por det (M). Dividir por cero es una operación indefinida).