Contenido

• Al paso
• Método 1 de 2: extracción de raíces con factores primos
• Método 2 de 2: encontrar raíces cuadradas sin calculadora
• Con división larga
• Entender el procedimiento
• Consejos
• Advertencias

Antes de la llegada de las calculadoras, tanto los estudiantes como los profesores tenían que calcular raíces cuadradas con lápiz y papel. En ese momento se desarrollaron varias técnicas para abordar este trabajo a veces difícil, algunas de las cuales dan una estimación aproximada y otras calculan el valor exacto. Siga leyendo para aprender cómo encontrar la raíz cuadrada de un número en unos pocos y sencillos pasos.

Al paso

Método 1 de 2: extracción de raíces con factores primos

1. Divida su número en factores de potencia. Este método usa los factores de un número para encontrar la raíz cuadrada de un número (dependiendo del número, puede ser una respuesta exacta o una estimación). La factores de un número dado son cualquier secuencia de números que se multiplican para formar ese número en particular. Por ejemplo, puedes decir que los factores de 8 son iguales a 2 y 4 porque 2 × 4 = 8. Los cuadrados perfectos, por otro lado, son números enteros que son el producto de otros números enteros. Por ejemplo, 25, 36 y 49 son cuadrados perfectos porque son iguales a 5, 6 y 7. Los segundos factores de potencia, como habrás entendido, son factores que también son cuadrados perfectos. Para encontrar una raíz cuadrada usando factores primos, primero intente dividir el número en sus segundos factores de potencia.
   • Tome el siguiente ejemplo. Vamos a encontrar la raíz cuadrada de 400. Para empezar, dividimos el número en factores de potencia. Dado que 400 es un múltiplo de 100, sabemos que es divisible uniformemente por 25, un cuadrado perfecto. La memorización rápida nos dice que 400/25 = 16,16 también resulta ser un cuadrado perfecto. Entonces los factores cúbicos de 400 son 25 y 16 porque 25 × 16 = 400.
   • Escribimos esto como: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Calcula las raíces cuadradas de tus segundos factores de potencia. La regla del producto de raíces cuadradas establece que para cualquier número dado a y B, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Debido a esta propiedad, ahora podemos tomar las raíces cuadradas de los factores cuadrados y multiplicarlos para obtener la respuesta.
   • En nuestro ejemplo, tomamos las raíces cuadradas de 25 y 16. Vea a continuación:
     • Cuadrado (25 × 16)
     • Cuadrado (25) × Cuadrado (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Si su número no se puede factorizar perfectamente, simplifíquelo. En realidad, los números de los que desea determinar las raíces cuadradas no serán números redondeados agradables con cuadrados agradables como 400. En estos casos, es posible que no sea posible obtener un número entero como respuesta. En cambio, utilizando todos los factores de potencia que pueda encontrar, puede determinar la respuesta como una raíz cuadrada más pequeña y más fácil de usar. Esto se hace reduciendo el número a una combinación de factores de potencia y otros factores, y luego simplificándolo.
   • Tomamos la raíz cuadrada de 147 como ejemplo. 147 no es el producto de dos cuadrados perfectos, por lo que no podemos obtener un buen valor entero. Pero es el producto de un cuadrado perfecto y otro número: 49 y 3. Podemos usar esta información para escribir nuestra respuesta en los términos más simples:
     • Cuadrado (147)
     • = Cuadrado (49 × 3)
     • = Cuadrado (49) × Cuadrado (3)
     • = 7 × cuadrado (3)
4. Simplifique, si es necesario. Usando la raíz cuadrada en los términos más simples, generalmente es bastante fácil obtener una estimación aproximada de la respuesta estimando las raíces cuadradas restantes y multiplicándolas. Una forma de mejorar tus conjeturas es encontrar los cuadrados perfectos a cada lado del número en tu raíz cuadrada. Sabes que el valor decimal del número en tu raíz cuadrada está en algún lugar entre estos dos números, por lo que tu conjetura tendrá que estar entre estos números también.
   • Volvamos a nuestro ejemplo. Dado que 2 = 4 y 1 = 1, sabemos que Sqrt (3) está entre 1 y 2, probablemente más cerca de 2 que de 1. Estimamos que 1,7. 7 × 1,7 = 11,9. Si comprobamos esto con la calculadora, vemos que estamos bastante cerca de la respuesta: 12,13.
     • Esto también funciona para los números más grandes. Por ejemplo, sqrt (35) está aproximadamente entre 5 y 6 (probablemente más cerca de 6). 5 = 25 y 6 = 36,35 está entre 25 y 36, por lo que la raíz cuadrada estará entre 5 y 6. Dado que 35 está justo por debajo de 36, podemos decir con cierta confianza que su raíz cuadrada sólo es menor que 6. Verificar con una calculadora nos da una respuesta de aproximadamente 5.92 - teníamos razón.
5. Alternativamente, como primer paso, puede simplificar el número al minimo común multiplo. No es necesario buscar factores de potencia si puede encontrar fácilmente los factores primos de un número (factores que también son números primos al mismo tiempo). Escribe el número en términos de múltiplos mínimos comunes. Luego, busque entre sus factores pares coincidentes de números primos. Cuando encuentre dos factores primos que coincidan, elimínelos de la raíz cuadrada y coloque a de estos números fuera del signo de la raíz cuadrada.
   • Por ejemplo, determinamos la raíz cuadrada de 45 usando este método. Sabemos que 45 = 9 × 5 y que 9 = 3 × 3. Entonces podemos escribir la raíz cuadrada así: Sqrt (3 × 3 × 5). Simplemente elimine los 3 y coloque un 3 fuera de la raíz cuadrada para obtener una raíz cuadrada simplificada: (3) Cuadrado (5). Ahora puede hacer un presupuesto fácilmente.
   • Un último ejemplo; determinamos la raíz cuadrada de 88:
     • Cuadrado (88)
     • = Cuadrado (2 × 44)
     • = Cuadrado (2 × 4 × 11)
     • = Cuadrado (2 × 2 × 2 × 11). Tenemos varios 2 en nuestra raíz cuadrada. Como 2 es primo, podemos quitar un par y colocar un 2 fuera de la raíz.
     • = Nuestra raíz cuadrada en términos más simples es (2) Sqrt (2 × 11) o (2) Cuadrado (2) Cuadrado (11). Ahora podemos acercarnos a Sqrt (2) y Sqrt (11) y encontrar una respuesta aproximada, si quisiéramos.

Método 2 de 2: encontrar raíces cuadradas sin calculadora

Con división larga

1. Divide los dígitos de tu número en pares. Este método es similar a la división larga, que le permite dividir el exacto raíz cuadrada de un número dígito a dígito. Aunque no es esencial, dividir un número en partes viables puede facilitar la resolución, especialmente si es largo. Primero dibuje una línea vertical que divida el área de trabajo en 2 áreas, luego una línea más corta cerca de la parte superior del área derecha, dividiéndola en una parte superior más pequeña y una parte más grande debajo. Luego divida el número en pares de números, comenzando desde el punto decimal. Según esta regla, 79520789182.47897 se convierte en "7 95 20 78 91 82.47 89 70". Escribe este número en el área superior izquierda.
   • Como ejemplo, calculemos la raíz cuadrada de 780,14. Divida su espacio de trabajo como se indica arriba y escriba "7 80, 14" en la esquina superior izquierda. Está bien si solo hay un número en el extremo izquierdo, en lugar de dos. Luego, escribe la respuesta (la raíz cuadrada de 780,14) en la parte superior del área de la derecha.
2. Encuentra el entero más grande norte cuyo cuadrado es menor o igual que el dígito o número más a la izquierda. Encuentre el cuadrado más grande que sea menor o igual a este número y luego encuentre la raíz cuadrada de este cuadrado. Este numero es norte. Escribe eso en el área superior derecha y escribe el cuadrado de n en el cuadrante inferior de esa área.
   • En nuestro ejemplo, el dígito más a la izquierda es el número 7. Como sabemos que 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, podemos decir que n = 2 porque este es el entero más grande cuyo cuadrado es menor o igual a 7. Escribe 2 en el cuadrante superior derecho. Este es el primer dígito de la respuesta. Escribe 4 (el cuadrado de 2) en el cuadrante inferior derecho. Este número es importante para el siguiente paso.
3. Resta el número que calculaste del dígito o número más a la izquierda. Al igual que con la división larga, el siguiente paso es restar el cuadrado del número que acabamos de usar para el cálculo. Escribe este número debajo del número más a la izquierda y réstalo. Escribe la respuesta a continuación.
   • En nuestro ejemplo, escribimos un 4 debajo de 7 y lo restamos. Esto da 3 en respuesta.
4. Mueve el siguiente número hacia abajo. Coloque esto junto al valor que encontró en la edición anterior. Multiplique el número de la parte superior derecha por dos y anótelo en la parte inferior derecha. Deje un espacio junto al número que acaba de anotar para la suma que hará en el siguiente paso. Escriba aquí "_ × _ =" ".
   • En nuestro ejemplo, el siguiente número es "80". Escribe "80" junto al 3 en el cuadrante izquierdo. Luego multiplique el número en la parte superior derecha por 2. Este número es 2, entonces 2 × 2 = 4. Escriba "" 4 "" en la parte inferior derecha, seguido de _×_=.
5. Ingrese los números a la derecha. En el espacio en blanco de la suma (derecha), ingrese el número entero más grande que hará que el resultado de la suma de la multiplicación de la derecha sea menor o igual que el número actual de la izquierda.
   • En nuestro ejemplo, ingresamos 8, y esto da 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Esto es mayor que 380. Entonces, 8 es demasiado grande, pero 7 probablemente no lo sea. Completa 7 y resuelve: 4 (7) × 7 = 329. 7 es bueno porque 329 es menor que 380. Escribe 7 en la esquina superior derecha. Este es el segundo dígito de la raíz cuadrada de 780,14.
6. Reste el número que acaba de calcular del número actual de la izquierda. Entonces resta el resultado de la multiplicación de la derecha de la respuesta actual de la izquierda. Escriba su respuesta directamente debajo de ella.
   • En nuestro ejemplo, restamos 329 de 380, y esto da 51 como resultado.
7. Repita el paso 4. Mueva el siguiente par de números hacia abajo desde 780,14. Cuando llegue a una coma, escriba esa coma en la respuesta a la derecha. Luego, multiplique el número de arriba a la derecha por 2 y escriba la respuesta junto a ("_ × _") como se muestra arriba.
   • En nuestra respuesta ahora escribimos una coma porque también encontramos esto en 780.14. Mueva el siguiente par (14) hacia abajo en el cuadrante izquierdo. 27 x 2 = 54, entonces escribimos "54 _ × _ =" en el cuadrante inferior derecho.
8. Repita los pasos 5 y 6. Encuentra el número más grande que dé una respuesta menor o igual al número actual de la izquierda. Resolver.
   • En nuestro ejemplo, 549 × 9 = 4941, que es menor o igual que el número de la izquierda (5114). 549 × 10 = 5490, que es demasiado alto, por lo que 9 es nuestra respuesta. Escribe 9 como el siguiente número superior derecho y resta el resultado de la multiplicación del número izquierdo: 5114-4941 = 173.
9. Para que el resultado sea preciso, repita el procedimiento anterior hasta que encuentre la respuesta con el número de decimales (centésimas, milésimas) que necesita.

Entender el procedimiento

1. Considere el número cuya raíz cuadrada desea calcular como el área S de un cuadrado. Dado que el área de un cuadrado es L, donde L es la longitud de uno de sus lados, entonces, al encontrar la raíz cuadrada de tu número, intentas calcular la longitud L del lado de ese cuadrado.
2. Asigne una letra a cada dígito de su respuesta. Ingrese la variable A como el primer dígito de L (la raíz cuadrada que estamos tratando de calcular). B es el segundo dígito, C el tercero, y así sucesivamente.
3. Dé una letra a cada "par de números" del número con el que comienza. Dar la variable S_a al primer par de dígitos en S (el valor inicial), S._B al segundo par de dígitos, etc.
4. Comprende la relación entre este método y la división larga. Este método de encontrar una raíz cuadrada es esencialmente una división larga, en la que se divide el valor inicial por su raíz cuadrada y se "da" la raíz cuadrada como respuesta. Al igual que con la división larga, donde solo está interesado en el siguiente dígito a la vez, solo está interesado en los siguientes dos dígitos a la vez (que corresponden al siguiente dígito de la raíz cuadrada).
5. Encuentre el número más grande cuyo cuadrado sea menor o igual que S._a es. El primer dígito A en nuestra respuesta es entonces el entero más grande cuyo cuadrado no es mayor que S._a (Tal que A² ≤ Sa (A + 1) ²). En nuestro ejemplo, S_a = 7 y 2² ≤ 7 3², entonces A = 2.
   • Tenga en cuenta que si divide 88962 entre 7 usando una división larga, el primer paso es igual: primero trata con el primer dígito de 88962 (8) y desea que el dígito más grande multiplicado por 7 sea menor o igual a 8. Esencialmente usted determinar D tal que 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). En este caso, d es igual a 1.
6. Visualice el cuadrado cuyo área desea encontrar. Su respuesta, la raíz cuadrada del valor inicial, es L, que describe la longitud de un cuadrado con área S (el valor inicial). Los valores de A, B y C representan los dígitos del valor L.Otra forma de decir esto es que para una respuesta de 2 dígitos, 10A + B = L, y para una respuesta de 3 dígitos, 100A + 10B + C = L, y así sucesivamente.
   • En nuestro ejemplo (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Recuerde que 10A + B representa nuestra respuesta L junto con B en la posición de las unidades y A en la posición de las decenas. Por ejemplo, si A = 1 y B = 2, entonces 10A + B es el número 12. (10A + B) ² es el área de todo el cuadrado, mientras que 100A² es el área del cuadrado interior más grande, B² es el área del cuadrado más pequeño y 10A × B es el área de cada uno de los rectángulos restantes. Mediante este procedimiento largo y complicado, podemos encontrar el área de todo el cuadrado sumando las áreas de los cuadrados y rectángulos que forman parte de él.
7. Reste A² de S._a. Traiga un par de números (S._B) por debajo del número S. S._a S._B es casi el área total del cuadrado, del que acaba de restar el área del cuadrado interior más grande. El resto es, digamos, el número N1, que obtuvimos en el paso 4 (N1 = 380 en nuestro ejemplo). N1 es igual a 2 × 10A × B + B² (el área de los 2 rectángulos más el área del cuadrado pequeño).
8. Mira N1 = 2 × 10A × B + B², también escrito como N1 = (2 × 10A + B) × B. En nuestro ejemplo, ya conoce N1 (380) y A (2), por lo que ahora necesita encontrar B. B probablemente no sea un número entero, por lo que debes Realmente encuentre el entero más grande B, tal que (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Así que ahora tienes: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Resuelve la ecuación. Para resolver esta ecuación, multiplique A por 2, cámbiela a diez (multiplique por 10), ponga B en las unidades y multiplique el resultado por B. En otras palabras, (2 × 10A + B) × B. Esto es exactamente lo que haces cuando escribes "N_ × _ =" (con N = 2 × A) en el cuadrante inferior derecho en el paso 4. En el paso 5, determinas el entero B más grande que se ajusta debajo de la línea, entonces (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Reste el área (2 × 10A + B) × B del área total. Esto da el área S- (10A + B) ² que aún no ha tenido en cuenta (y que usa para calcular los siguientes números de la misma manera).
11. Para calcular el siguiente dígito C, repita el procedimiento. Mueva el siguiente par de números de S hacia abajo (S_C) para obtener N2 a la izquierda, y busque la C más grande para que ahora tenga: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (igual al doble del número de dos dígitos "AB" seguido por "_ × _ =" Ahora determine el número más grande que puede ingresar aquí, lo que le dará una respuesta menor o igual a N2.

Consejos

• Al mover la coma dos lugares (un factor de 100), la coma en la raíz cuadrada correspondiente se mueve un lugar (un factor de 10).
• En el ejemplo, 1,73 podría considerarse "resto": 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Este método funciona para cualquier sistema numérico, no solo para el sistema decimal (decimal).
• No dude en colocar los cálculos donde desee. Algunas personas lo escriben encima del número del que quieren calcular la raíz cuadrada.
• Un método alternativo es el siguiente: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 780.14, tome el número entero cuyo cuadrado esté más cerca de 780.14 (28), entonces = 780.14, x = 28 e y = -3.86. Completar y estimar nos da x + y / (2x) y esto da (términos simplificados) 78207/2800 o aproximadamente 27,931 (1); el siguiente término, 4374188/156607 o aproximadamente 27,930986 (5). Cada término agrega alrededor de 3 lugares decimales de precisión al anterior.

Advertencias

• Asegúrate de dividir el número en pares desde el punto decimal. Dividiendo 79520789182.47897 como "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "da un resultado incorrecto.