Contenido

• Pasos
• Parte 1 de 2: Conceptos básicos
• Parte 2 de 2: Transformación de matriz ampliada para resolver SLAE
• Consejos

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen un conjunto común de incógnitas y, por lo tanto, una solución común. La gráfica del sistema de ecuaciones lineales son dos líneas rectas y la solución del sistema es el punto de intersección de estas líneas rectas. Para resolver tales sistemas de ecuaciones lineales, es útil y conveniente utilizar matrices.

Pasos

Parte 1 de 2: Conceptos básicos

1. 1 Terminología. Los sistemas de ecuaciones lineales se componen de varios componentes. Una variable se denota mediante un carácter alfabético (generalmente xoy) y significa un número que aún no conoce y necesita encontrar. Una constante es un cierto número que no cambia su valor.El coeficiente es el número delante de la variable, es decir, el número por el que se multiplica la variable.
   • Por ejemplo, para una ecuación lineal, 2x + 4y = 8, xey son variables, 8 es constante y los números 2 y 4 son coeficientes.
2. 2 Forma para un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE) con dos variables se puede escribir de la siguiente manera: ax + by = p, cx + dy = q. Cualquier constante (p, q) puede ser cero, pero cada una de las ecuaciones debe contener al menos una variable (x, y).
3. 3 Expresiones matriciales. Cualquier SLAE se puede escribir en forma matricial y luego, utilizando las propiedades algebraicas de las matrices, resolverlo. Al escribir un sistema de ecuaciones en forma de matriz, A representa los coeficientes de la matriz, C representa matrices constantes y X denota una matriz desconocida.
   • Por ejemplo, el SLAE anterior se puede reescribir en la siguiente forma de matriz: A x X = C.
4. 4 Matriz expandida. La matriz extendida se obtiene transfiriendo la matriz de términos libres (constantes) al lado izquierdo. Si tiene dos matrices, A y C, entonces la matriz expandida se verá así:
   • Por ejemplo, para el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     La matriz expandida será 2x3 y se verá así:

Parte 2 de 2: Transformación de matriz ampliada para resolver SLAE

1. 1 Operaciones elementales. Puede realizar determinadas operaciones sobre una matriz, obteniendo así una matriz equivalente a la original. Tales operaciones se llaman elementales. Por ejemplo, para resolver una matriz de 2x3, necesita realizar operaciones de fila para llevar la matriz a una forma triangular. Tales operaciones pueden ser:
   • permutación de dos líneas.
   • multiplicar una cadena por un número distinto de cero.
   • multiplicar una cadena y sumarla a otra.
2. 2 Multiplicación de la segunda línea por un número distinto de cero. Si desea cero en la segunda línea, puede multiplicar la línea para que sea posible.
   • Por ejemplo, si tiene una matriz como esta:
     
     
     Puede mantener la primera línea y usarla para obtener cero en la segunda línea. Para hacer esto, primero debes multiplicar la segunda línea por 2:
3. 3 Multiplica de nuevo. Para obtener cero para la primera fila, es posible que deba multiplicar nuevamente usando manipulaciones similares.
   • En el ejemplo anterior, debes multiplicar la segunda línea por -1:
     
     
     Después de la multiplicación, la matriz se verá así:
4. 4 Agrega la primera línea a la segunda. Agregue las filas para obtener un cero en lugar de la primera columna y la segunda fila.
   • En nuestro ejemplo, agregue ambas líneas para obtener lo siguiente:
5. 5 Escribe un nuevo sistema de ecuaciones lineales para una matriz triangular. Una vez que tenga la matriz triangular, puede volver a SLAE. La primera columna de la matriz corresponde a la variable desconocida x, y la segunda corresponde a la variable desconocida y. La tercera columna corresponde a la intersección de la ecuación.
   • Para nuestro ejemplo, el nuevo sistema de ecuaciones lineales tomará la forma:
6. 6 Resuelve la ecuación para una de las variables. En el nuevo SLAE, determine qué variable es más fácil de encontrar y resuelva la ecuación.
   • En nuestro ejemplo, es más conveniente resolver desde el final, es decir, desde la última ecuación hasta la primera, pasando de abajo hacia arriba. A partir de la segunda ecuación, podemos encontrar fácilmente una solución para y, ya que eliminamos x, entonces y = 2.
7. 7 Encuentra la segunda incógnita mediante el método de sustitución. Una vez que haya encontrado una de las variables, puede insertarla en la segunda ecuación para encontrar la segunda variable.
   • En nuestro ejemplo, simplemente reemplace y con 2 en la primera ecuación para encontrar la incógnita x:

Consejos

• Los elementos de la matriz se denominan comúnmente escalares.
• Para resolver una matriz de 2x3, debe realizar operaciones de fila elementales. No puede realizar estas operaciones en columnas.