Contenido

• Pasos
• Parte 1 de 3: Encontrar el dominio de una función
• Parte 2 de 3: Encontrar el rango de una función cuadrática
• Parte 3 de 3: Encontrar el rango de una función usando su gráfica

Cada función tiene dos variables: la variable independiente y la variable dependiente, cuyos valores dependen de los valores de la variable independiente. Por ejemplo, en la función y = F(X) = 2X + y la variable independiente es x y la variable dependiente es y (en otras palabras, y es una función de x). Los valores válidos de la variable independiente "x" se denominan dominio de la función, y los valores válidos de la variable dependiente "y" se denominan dominio de la función.

Pasos

Parte 1 de 3: Encontrar el dominio de una función

1. 1 Determine el tipo de función que se le asignó. El rango de valores de la función son todos los valores admisibles de "x" (trazados a lo largo del eje horizontal), que corresponden a los valores admisibles de "y". La función puede ser cuadrática o contener fracciones o raíces. Para encontrar el dominio de una función, primero debe determinar el tipo de función.
   • La función cuadrática es: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4
   • Una función que contiene una fracción: f (x) = (/_X), f (x) = /_{(x - 1)} (etc).
   • Función que contiene raíz: f (x) = √x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √-x (y así sucesivamente).
2. 2 Seleccione la entrada adecuada para el alcance de la función. El alcance está escrito en cuadrado y / o entre paréntesis. Se utiliza un corchete cuando un valor está dentro del alcance de una función; si el valor no está dentro del alcance, se usa un paréntesis. Si la función tiene varios dominios de definición no contiguos, el símbolo "U" se coloca entre ellos.
   • Por ejemplo, el dominio [-2,10) U (10,2] incluye los valores -2 y 2, pero no incluye el valor 10.
   • Los paréntesis se utilizan siempre con el símbolo de infinito ∞.
3. 3 Grafica una función cuadrática. La gráfica de dicha función es una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia arriba o hacia abajo. Dado que la parábola aumenta o disminuye en todo el eje X, el dominio de la función cuadrática son todos los números reales. En otras palabras, el dominio de dicha función es el conjunto R (R denota todos los números reales).
   • Para comprender mejor el concepto de función, elija cualquier valor de "x", sustitúyalo en la función y encuentre el valor "y". El par de valores "x" e "y" representan un punto con coordenadas (x, y), que se encuentra en la gráfica de la función.
   • Dibuje este punto en el plano de coordenadas y siga el proceso descrito con un valor "x" diferente.
   • Al trazar varios puntos en el plano de coordenadas, obtendrá una idea general de la forma del gráfico de la función.
4. 4 Si la función contiene una fracción, establezca su denominador en cero. Recuerda que no puedes dividir por cero. Por lo tanto, al igualar el denominador a cero, encontrará valores para "x" que no están dentro del alcance de la función.
   • Por ejemplo, encuentre el dominio de la función f (x) = /_{(x - 1)}.
   • Aquí el denominador es (x - 1).
   • Iguale el denominador a cero y encuentre "x": x - 1 = 0; x = 1.
   • Anote el alcance de la función. El dominio no incluye 1, es decir, incluye todos los números reales excepto 1. Por lo tanto, el dominio de la función es: (-∞, 1) U (1, ∞).
   • La notación (-∞, 1) U (1, ∞) se lee así: el conjunto de todos los números reales excepto 1. El símbolo de infinito ∞ significa todos los números reales. En nuestro ejemplo, todos los números reales mayores que 1 y menores que 1 se incluyen en el alcance.
5. 5 Si la función contiene una raíz cuadrada, entonces la expresión radical debe ser mayor o igual a cero. Recuerde que la raíz cuadrada de los números negativos no se extrae. Por lo tanto, cualquier valor de "x" en el que la expresión radical se vuelva negativa debe excluirse del alcance de la función.
   • Por ejemplo, encuentre el dominio de la función f (x) = √ (x + 3).
   • La expresión radical: (x + 3).
   • La expresión radical debe ser mayor o igual a cero: (x + 3) ≥ 0.
   • Encuentre "x": x ≥ -3.
   • El alcance de esta función incluye el conjunto de todos los números reales que son mayores o iguales a -3. Por tanto, el dominio es [-3, ∞).

Parte 2 de 3: Encontrar el rango de una función cuadrática

1. 1 Asegúrate de tener una función cuadrática. La función cuadrática tiene la forma: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4. La gráfica de dicha función es una parábola cuyas ramas se dirigen hacia arriba o hacia abajo. Existen varios métodos para encontrar el rango de valores de una función cuadrática.
   • La forma más fácil de encontrar el rango de una función de raíz o fracción es graficar esa función usando una calculadora gráfica.
2. 2 Encuentra la coordenada x del vértice de la gráfica de la función. En el caso de una función cuadrática, encuentre la coordenada x del vértice de la parábola. Recuerda que la función cuadrática es: ax + bx + c. Para calcular la coordenada x, use la siguiente ecuación: x = -b / 2a. Esta ecuación es una derivada de la función cuadrática fundamental y describe una tangente, cuya pendiente es cero (la tangente al vértice de la parábola es paralela al eje X).
   • Por ejemplo, encuentre el rango de la función 3x + 6x -2.
   • Calcula la coordenada x del vértice de la parábola: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1
3. 3 Encuentra la coordenada y del vértice de la gráfica de la función. Para hacer esto, sustituya la coordenada "x" encontrada en la función. La coordenada "y" buscada es el valor límite del rango de valores de la función.
   • Calcule la coordenada y: y = 3x + 6x - 2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5
   • Las coordenadas del vértice de la parábola de esta función son (-1, -5).
4. 4 Determina la dirección de la parábola sustituyendo al menos un valor de x en la función. Elija cualquier otro valor de x y conéctelo a la función para calcular el valor de y correspondiente. Si el valor encontrado "y" es mayor que la coordenada "y" del vértice de la parábola, entonces la parábola se dirige hacia arriba. Si el valor encontrado "y" es menor que la coordenada "y" del vértice de la parábola, entonces la parábola se dirige hacia abajo.
   • Sustituye x = -2 en la función: y = 3x + 6x - 2 = y = 3 (-2) + 6 (-2) - 2 = 12-12 -2 = -2.
   • Las coordenadas del punto en la parábola son (-2, -2).
   • Las coordenadas encontradas indican que las ramas de la parábola están dirigidas hacia arriba. Por lo tanto, el rango de la función incluye todos los valores de y que son mayores o iguales a -5.
   • Rango de valores de esta función: [-5, ∞)
5. 5 El rango de valores de una función se escribe de la misma forma que el rango de definición de una función. El corchete se usa cuando el valor está en el rango de la función; si el valor no está en el rango, se usa un paréntesis. Si la función tiene varios rangos de valores no contiguos, el símbolo "U" se coloca entre ellos.
   • Por ejemplo, el rango [-2,10) U (10,2] incluye los valores -2 y 2, pero no incluye el valor 10.
   • Los paréntesis se utilizan siempre con el símbolo de infinito ∞.

Parte 3 de 3: Encontrar el rango de una función usando su gráfica

1. 1 Grafique la función. En muchos casos, es más fácil encontrar el rango de valores de una función trazando su gráfica. El rango de valores de muchas funciones con raíces es (-∞, 0] o [0, + ∞), ya que el vértice de la parábola dirigido hacia la derecha o hacia la izquierda se encuentra en el eje X. En este caso , el rango incluye todos los valores positivos de "y" si la parábola está aumentando, o todos los valores negativos de y si la parábola está disminuyendo. Las funciones fraccionales tienen asíntotas que definen su rango.
   • Los vértices de las gráficas de algunas funciones con raíces se encuentran por encima o por debajo del eje X. En este caso, el rango de valores está determinado por la coordenada “y” del vértice de la parábola. Si, por ejemplo, la coordenada "y" del vértice de una parábola es -4 (y = -4), y la parábola aumenta, entonces el rango de valores es [-4, + ∞).
   • La forma más fácil de graficar una función es usar una calculadora gráfica o un software especial.
   • Si no tiene una calculadora gráfica, cree un gráfico aproximado insertando varios valores de x en la función y calculando los valores de y correspondientes. Trace los puntos encontrados en el plano de coordenadas para tener una idea general de la forma de la gráfica.
2. 2 Encuentra el mínimo de la función. Cuando traces una función, verás el punto en el que la función tiene un valor mínimo.Si no hay un mínimo obvio, entonces no existe y la gráfica de la función va a -∞.
   • El rango de valores de la función incluye todos los valores de "y" excepto los valores de las asíntotas. A menudo, los rangos de valores de tales funciones se escriben de la siguiente manera: (-∞, 6) U (6, ∞).
3. 3 Determine el máximo de la función. Una vez que haya trazado una función, verá el punto en el que la función tiene su valor máximo. Si no hay un máximo obvio, entonces no existe y la gráfica de la función va a + ∞.
4. 4 El rango de valores de una función se escribe de la misma forma que el rango de definición de una función. El corchete se usa cuando el valor está en el rango de la función; si el valor no está en el rango, se usa un paréntesis. Si la función tiene varios rangos de valores no contiguos, el símbolo "U" se coloca entre ellos.
   • Por ejemplo, el rango [-2,10) U (10,2] incluye los valores -2 y 2, pero no incluye el valor 10.
   • Los paréntesis se utilizan siempre con el símbolo de infinito ∞.