Cómo resolver una ecuación diofántica lineal

Autor: Mark Sanchez
Fecha De Creación: 5 Enero 2021
Fecha De Actualización: 1 Mes De Julio 2024
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07. Radioactive decay, DIFFERENTIAL EQUATIONS
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Contenido

Para resolver una ecuación diofántica lineal, necesitas encontrar los valores de las variables "x" e "y", que son números enteros. Una solución entera es más compleja de lo habitual y requiere un conjunto específico de acciones. Primero, necesitas calcular el máximo común divisor (MCD) de los coeficientes y luego encontrar una solución. Una vez que haya encontrado una solución entera para una ecuación lineal, puede usar un patrón simple para encontrar un número infinito de otras soluciones.

Pasos

Parte 1 de 4: Cómo escribir una ecuación

  1. 1 Escribe la ecuación en forma estándar. Una ecuación lineal es una ecuación en la que los exponentes de las variables no exceden 1. Para resolver dicha ecuación lineal, primero escríbala en forma estándar. La forma estándar de una ecuación lineal se ve así: AX+By=C{ displaystyle Ax + By = C}, donde A,B{ Displaystyle A, B} y C{ Displaystyle C} - números enteros.
    • Si la ecuación se da en una forma diferente, tráigala a la forma estándar usando operaciones algebraicas básicas. Por ejemplo, dada la ecuación 23X+4y−7X=−3y+15{ Displaystyle 23x + 4y-7x = -3y + 15}... Da términos similares y escribe la ecuación así: 16X+7y=15{ Displaystyle 16x + 7y = 15}.
  2. 2 Simplifica la ecuación (si es posible). Cuando escriba la ecuación en forma estándar, observe los coeficientes A,B{ Displaystyle A, B} y C{ Displaystyle C}... Si estas probabilidades tienen un GCD, divida las tres probabilidades por él. La solución a una ecuación tan simplificada también será la solución a la ecuación original.
    • Por ejemplo, si los tres coeficientes son pares, divídalos por al menos 2. Por ejemplo:
      • 42X+36y=48{ Displaystyle 42x + 36y = 48} (todos los miembros son divisibles por 2)
      • 21X+18y=24{ Displaystyle 21x + 18y = 24} (ahora todos los miembros son divisibles entre 3)
      • 7X+6y=8{ Displaystyle 7x + 6y = 8} (esta ecuación ya no se puede simplificar)
  3. 3 Compruebe si la ecuación se puede resolver. En algunos casos, puede afirmar inmediatamente que la ecuación no tiene soluciones. Si el coeficiente "C" no es divisible por el MCD de los coeficientes "A" y "B", la ecuación no tiene soluciones.
    • Por ejemplo, si ambos coeficientes A{ Displaystyle A} y B{ Displaystyle B} son pares, entonces el coeficiente C{ Displaystyle C} debe ser parejo. Pero si C{ Displaystyle C} extraño, entonces no hay solución.
      • La ecuacion 2X+4y=21{ Displaystyle 2x + 4y = 21} sin soluciones enteras.
      • La ecuacion 5X+10y=17{ Displaystyle 5x + 10y = 17} no hay soluciones enteras ya que el lado izquierdo de la ecuación es divisible por 5 y el lado derecho no lo es.

Parte 2 de 4: Cómo escribir el algoritmo de Euclides

  1. 1 Comprende el algoritmo de Euclides. Es una serie de divisiones repetidas en las que el resto anterior se usa como el siguiente divisor. El último divisor que divide los números integralmente es el máximo común divisor (MCD) de los dos números.
    • Por ejemplo, busquemos el MCD de los números 272 y 36 usando el algoritmo de Euclid:
      • 272=7∗36+20{ Displaystyle 272 = 7 * 36 + 20} - Dividir el número mayor (272) por el menor (36) y prestar atención al resto (20);
      • 36=1∗20+16{ Displaystyle 36 = 1 * 20 + 16} - dividir el divisor anterior (36) por el resto anterior (20). Tenga en cuenta el nuevo residuo (16);
      • 20=1∗16+4{ Displaystyle 20 = 1 * 16 + 4} - dividir el divisor anterior (20) por el resto anterior (16). Tenga en cuenta el nuevo residuo (4);
      • 16=4∗4+0{ Displaystyle 16 = 4 * 4 + 0} - Dividir el divisor anterior (16) por el resto anterior (4). Dado que el resto es 0, podemos decir que 4 es el MCD de los dos números originales 272 y 36.
  2. 2 Aplicar el algoritmo de Euclides a los coeficientes "A" y "B". Cuando escriba la ecuación lineal en forma estándar, determine los coeficientes "A" y "B" y luego aplíqueles el algoritmo de Euclides para encontrar el MCD. Por ejemplo, dada una ecuación lineal 87X−64y=3{ Displaystyle 87x-64y = 3}.
    • Aquí está el algoritmo de Euclides para los coeficientes A = 87 y B = 64:
      • 87=1∗64+23{ Displaystyle 87 = 1 * 64 + 23}
      • 64=2∗23+18{ Displaystyle 64 = 2 * 23 + 18}
      • 23=1∗18+5{ Displaystyle 23 = 1 * 18 + 5}
      • 18=3∗5+3{ Displaystyle 18 = 3 * 5 + 3}
      • 5=1∗3+2{ Displaystyle 5 = 1 * 3 + 2}
      • 3=1∗2+1{ Displaystyle 3 = 1 * 2 + 1}
      • 2=2∗1+0{ Displaystyle 2 = 2 * 1 + 0}
  3. 3 Encuentre el máximo común divisor (MCD). Dado que el último divisor fue 1, MCD 87 y 64 son 1. Por lo tanto, 87 y 64 son números primos entre sí.
  4. 4 Analiza el resultado. Cuando encuentre los coeficientes mcd A{ Displaystyle A} y B{ Displaystyle B}, compáralo con el coeficiente C{ Displaystyle C} la ecuación original. Si C{ Displaystyle C} divisible por gcd A{ Displaystyle A} y B{ Displaystyle B}, la ecuación tiene una solución entera; de lo contrario, la ecuación no tiene soluciones.
    • Por ejemplo, la ecuación 87X−64y=3{ Displaystyle 87x-64y = 3} se puede resolver porque 3 es divisible por 1 (mcd = 1).
    • Por ejemplo, suponga que MCD = 5. 3 no es divisible uniformemente por 5, por lo que esta ecuación no tiene soluciones enteras.
    • Como se muestra a continuación, si una ecuación tiene una solución entera, también tiene un número infinito de otras soluciones enteras.

Parte 3 de 4: Cómo encontrar una solución usando el algoritmo de Euclides

  1. 1 Numere los pasos para calcular GCD. Para encontrar la solución a una ecuación lineal, debe utilizar el algoritmo euclidiano como base para el proceso de sustitución y simplificación.
    • Comience numerando los pasos para calcular el MCD. El proceso de cálculo se ve así:
      • Paso 1:87=(1∗64)+23{ displaystyle { text {Paso 1}}: 87 = (1 * 64) +23}
      • Paso 2:64=(2∗23)+18{ displaystyle { text {Paso 2}}: 64 = (2 * 23) +18}
      • Paso 3:23=(1∗18)+5{ displaystyle { text {Paso 3}}: 23 = (1 * 18) +5}
      • Paso 4:18=(3∗5)+3{ displaystyle { text {Paso 4}}: 18 = (3 * 5) +3}
      • Paso 5:5=(1∗3)+2{ displaystyle { text {Paso 5}}: 5 = (1 * 3) +2}
      • Paso 6:3=(1∗2)+1{ displaystyle { text {Paso 6}}: 3 = (1 * 2) +1}
      • Paso 7:2=(2∗1)+0{ displaystyle { text {Paso 7}}: 2 = (2 * 1) +0}
  2. 2 Preste atención al último paso, donde hay un resto. Reescribe la ecuación de este paso para aislar el resto.
    • En nuestro ejemplo, el último paso con resto es el paso 6. El resto es 1. Vuelva a escribir la ecuación en el paso 6 de la siguiente manera:
      • 1=3−(1∗2){ Displaystyle 1 = 3- (1 * 2)}
  3. 3 Aislar el resto del paso anterior. Este proceso es un "avance" paso a paso. Cada vez, aislará el resto de la ecuación del paso anterior.
    • Aísle el resto de la ecuación en el paso 5:
      • 2=5−(1∗3){ Displaystyle 2 = 5- (1 * 3)} o 2=5−3{ Displaystyle 2 = 5-3}
  4. 4 Sustituye y simplifica. Observe que la ecuación del paso 6 contiene el número 2 y, en la ecuación del paso 5, el número 2 está aislado. Entonces, en lugar de "2" en la ecuación del paso 6, sustituya la expresión del paso 5:
    • 1=3−2{ Displaystyle 1 = 3-2} (ecuación del paso 6)
    • 1=3−(5−3){ Displaystyle 1 = 3- (5-3)} (en lugar de 2, se sustituyó una expresión)
    • 1=3−5+3{ Displaystyle 1 = 3-5 + 3} (corchetes abiertos)
    • 1=2(3)−5{ Displaystyle 1 = 2 (3) -5} (simplificado)
  5. 5 Repita el proceso de sustitución y simplificación. Repita el proceso descrito, moviéndose a través del algoritmo euclidiano en orden inverso. Cada vez, reescribirá la ecuación del paso anterior y la insertará en la última ecuación que obtenga.
    • El último paso que vimos fue el paso 5. Así que vaya al paso 4 y aísle el resto en la ecuación para ese paso:
      • 3=18−(3∗5){ Displaystyle 3 = 18- (3 * 5)}
    • Sustituye esta expresión por "3" en la última ecuación:
      • 1=2(18−3∗5)−5{ Displaystyle 1 = 2 (18-3 * 5) -5}
      • 1=2(18)−6(5)−5{ Displaystyle 1 = 2 (18) -6 (5) -5}
      • 1=2(18)−7(5){ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}
  6. 6 Continuar con el proceso de sustitución y simplificación. Este proceso se repetirá hasta llegar al paso inicial del algoritmo euclidiano. El objetivo del proceso es escribir la ecuación con los coeficientes 87 y 64 de la ecuación original a resolver. En nuestro ejemplo:
    • 1=2(18)−7(5){ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}
    • 1=2(18)−7(23−18){ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23-18)} (sustituyó la expresión del paso 3)
      • 1=2(18)−7(23)+7(18){ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}
      • 1=9(18)−7(23){ Displaystyle 1 = 9 (18) -7 (23)}
    • 1=9(64−2∗23)−7(23){ Displaystyle 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)} (sustituyó la expresión del paso 2)
      • 1=9(64)−18(23)−7(23){ Displaystyle 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}
      • 1=9(64)−25(23){ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (23)}
    • 1=9(64)−25(87−64){ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87-64)} (sustituyó la expresión del paso 1)
      • 1=9(64)−25(87)+25(64){ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}
      • 1=34(64)−25(87){ Displaystyle 1 = 34 (64) -25 (87)}
  7. 7 Vuelva a escribir la ecuación resultante de acuerdo con los coeficientes originales. Cuando regrese al primer paso del algoritmo euclidiano, verá que la ecuación resultante contiene dos coeficientes de la ecuación original. Reescribe la ecuación para que el orden de sus términos coincida con los coeficientes de la ecuación original.
    • En nuestro ejemplo, la ecuación original 87X−64y=3{ Displaystyle 87x-64y = 3}... Por lo tanto, vuelva a escribir la ecuación resultante para que los coeficientes se alineen.Preste especial atención al coeficiente "64". En la ecuación original, este coeficiente es negativo y en el algoritmo euclidiano, es positivo. Por lo tanto, el factor 34 debe hacerse negativo. La ecuación final se escribirá así:
      • 87(−25)−64(−34)=1{ Displaystyle 87 (-25) -64 (-34) = 1}
  8. 8 Aplica el multiplicador apropiado para encontrar una solución. Tenga en cuenta que en nuestro ejemplo, MCD = 1, por lo que la ecuación final es 1. Pero la ecuación original (87x-64y) es 3. Por lo tanto, todos los términos en la ecuación final deben multiplicarse por 3 para obtener la solución:
    • 87(−25∗3)−64(−34∗3)=1∗3{ Displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}
    • 87(−75)−64(−102)=3{ Displaystyle 87 (-75) -64 (-102) = 3}
  9. 9 Escribe la solución entera de la ecuación. Los números que se multiplican por los coeficientes de la ecuación original son las soluciones de esa ecuación.
    • En nuestro ejemplo, escribe la solución como un par de coordenadas: (X,y)=(−75,−102){ Displaystyle (x, y) = (- 75, -102)}.

Parte 4 de 4: Encuentra otras infinitas soluciones

  1. 1 Comprende que hay un número infinito de soluciones. Si una ecuación lineal tiene una solución entera, entonces debe tener infinitas soluciones enteras. Aquí hay una prueba rápida (en forma algebraica):
    • AX+By=C{ displaystyle Ax + By = C}
    • A(X+B)+B(y−A)=C{ Displaystyle A (x + B) + B (y-A) = C} (si agrega "B" a "x" y resta "A" de "y", el valor de la ecuación original no cambiará)
  2. 2 Registre los valores xey originales. La plantilla para calcular las siguientes soluciones (infinitas) comienza con la única solución que ya ha encontrado.
    • En nuestro ejemplo, la solución es un par de coordenadas (X,y)=(−75,−102){ Displaystyle (x, y) = (- 75, -102)}.
  3. 3 Agrega el factor "B" al valor "x". Haga esto para encontrar el nuevo valor de x.
    • En nuestro ejemplo, x = -75 y B = -64:
      • X=−75+(−64)=−139{ Displaystyle x = -75 + (- 64) = - 139}
    • Por lo tanto, el nuevo valor "x": x = -139.
  4. 4 Reste el factor "A" del valor "y". Para que el valor de la ecuación original no cambie, al agregar un número a "x", debe restar otro número de "y".
    • En nuestro ejemplo, y = -102 y A = 87:
      • y=−102−87=−189{ Displaystyle y = -102-87 = -189}
    • Por lo tanto, el nuevo valor de "y": y = -189.
    • El nuevo par de coordenadas se escribirá así: (X,y)=(−139,−189){ Displaystyle (x, y) = (- 139, -189)}.
  5. 5 Comprueba la solución. Para verificar que el nuevo par de coordenadas es una solución a la ecuación original, reemplaza los valores en la ecuación.
    • 87X−64y=3{ Displaystyle 87x-64y = 3}
    • 87(−139)−64(−189)=3{ Displaystyle 87 (-139) -64 (-189) = 3}
    • 3=3{ Displaystyle 3 = 3}
    • Dado que se cumple la igualdad, la decisión es correcta.
  6. 6 Escribe expresiones para encontrar muchas soluciones. Los valores de "x" serán iguales a la solución original más cualquier múltiplo del factor "B". Esto se puede escribir como la siguiente expresión:
    • x (k) = x + k (B), donde "x (k)" es el conjunto de valores "x" y "x" es el valor original (primero) de "x" que encontró.
      • En nuestro ejemplo:
      • X(k)=−75−64k{ Displaystyle x (k) = - 75-64k}
    • y (k) = y-k (A), donde y (k) es el conjunto de valores de y e y es el valor de y original (primero) que encontró.
      • En nuestro ejemplo:
      • y(k)=−102−87k{ Displaystyle y (k) = - 102-87k}

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